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《兰州交通大学》 2016年
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一类生物动力系统的稳定性与Hopf分岔研究

邓田  
【摘要】:数学生态学是生物数学各领域中目前发展得最为完整、最为系统的一个重要分支。随着数学生态学的迅速发展,研究食饵与捕食者系统的动力学特性已成为数学家和生态学家共同关注的一个重要课题。最近几年来,由于种群生态模型的普遍应用,受到了人们广泛的关注。众所周知,害虫是农作物的大敌,害虫每年都会对农作物造成极大的损失,因此了解害虫的生长发育,生活习性对防治害虫很有必要。另一方面,长期以来,生物学领域的许多学者非常重视对时滞生物动力系统的动力学性质的分析与研究。本论文基于非线性动力系统的分岔理论、稳定性理论、中心流形定理以及规范形理论等,对几类生物动力系统的动力学特性进行了详细地研究,主要内容如下:1.综述了生物动力系统的研究现状以及研究目的,主要包括食饵与捕食者生物动力系统的研究现状、时滞生物动力系统的研究现状及Hopf分岔理论的研究进展,并且叙述了稳定性、分岔、flip分岔理论、Hopf分岔理论、中心流形定理、Hurwitz判据、Lyapunov系数法的概念与定义。并且简要归纳了flip分岔和Hopf分岔发生的条件及其稳定性的判断依据。最后,简单介绍了本论文所做的主要工作。2.研究了一类具有HollingⅢ型功能反应的离散食饵与捕食者模型的动力学行为,通过运用分岔理论及中心流形定理讨论了系统的平衡点的局部稳定性、flip分岔以及Hopf分岔。并分析了系统在二维参数空间的动力学特性,可以观察到,当参数穿过Hopf分岔曲线时系统就会出现丛生现象。数值模拟不仅说明了理论结果分析的正确性,而且表现出了系统复杂的动力学特性。结果表明,从二维参数空间中我们可以更清楚、直接地观察到系统的周期叠加、混沌现象以及Hopf分岔现象,也容易找到最优的参数匹配区间。3.研究了一类具有生育脉冲的阶段结构的种群模型的动力学特性,通过运用分岔理论并计算系统的Lyapunov系数详细地讨论了Hopf分岔的存在性与稳定性,以及不同参数对系统动力学行为的影响。最后,我们分析了该系统在二维参数空间的动力学特性。通过数值模拟说明了理论结果分析的正确性以及系统复杂的动力学特性。通过观察系统在二维参数空间的动力学特性,可以发现系统具有周期叠加、混沌现象以及间歇混沌等现象。4.研究了一类具有非线性传染率的时滞SIR模型的动力学特性,通过运用Hurwitz判据,分析了该系统在正平衡点处相应的线性化特征方程根的分布,讨论了正平衡点的稳定性及局部Hopf分岔产生的条件。最后,利用仿真算例进一步地验证了理论结果的正确性。结果说明,当时滞参数?大于临界值时系统就会发生Hopf分岔。
【学位授予单位】:兰州交通大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O175

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