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若干图的规范Laplacian谱研究及其应用

张友  
【摘要】:图谱是图论与线性代数的交叉理论.图谱理论的研究主要结合图论和组合数学的理论,利用代数的方法与技巧来研究图的谱及其结构性质.计算图的谱就像确定图的特征多项式一样,是图谱理论中基础而有意义性的一项工作.图的谱以及特征多项式可以帮助我们研究图的一些参数性质,例如色数、连通度、匹配数等.图矩阵的特征值不仅能反映图的参数性质,而且能提供与图能量相关的信息.图的规范Laplacian特征值就是其中之一.此外,比较两个规范Laplacian特征多项式的系数和特征根是确定规范Laplacian同谱图常用而有效的方法.本文研究图的规范Laplacian谱主要包括以下几个方面:星型树和双星树的谱半径的界,剖分点-边冠运算的规范Laplacian谱,剖分点-边联运算的规范Laplacian谱,两类六角系统的规范Laplacian谱.文中对于规范Laplacian谱的应用方面的研究主要集中在图的度-Kirchhoff指标、生成树数目以及同谱图的构造上.借助于某些图运算(剖分冠运算、剖分联运算)得到一些图的规范Laplacian谱,由此给出与图相关的生成树数目和度-Kirchhoff指标一个实值.进一步寻找图的规范Laplacian同谱不变量,为判断两个图的同谱性提供有力的工具.本文主要分五章对具体结构进行讨论:第一章主要给出了规范Laplacian谱的研究背景和涉及到的基本概念.第二章针对星型树和双星树,通过删除割点、割边的图运算方法,由特征多项式根与系数的关系先给出了谱半径的上界.然后由已知的结论推出广义星型树图谱半径的界.最后从改变最大度和第二大度出发,通过剖分广义星型树的内部路以及外部路,得到谱半径的变化不超过1.第三章根据三个连通正则图Gl,的规范Laplacian特征根首先确定了图G1S o(G2V∪ G3E)的规范Laplacian谱,其次构造了一类非正则L-同谱图.此外,还给出了图G1So(G3V∪ G3E)的度-Kirchhoff指标和生成树数目.第四章借助于联运算构造了图G1S(G2V ∪G3E),根据正则图G1的谱首先给出了图G1S(?)(G2V∪ G3E)的A-谱,L-谱和Q-谱;其次,当G1,G2和G3都是正则图时,还确定了图G1S(?)(G2V∪ G3E)的规范Laplacian谱.在应用方面上,主要构造了有限对A-同谱图,L-同谱图,Q-同谱图和£-同谱图;最后给出并比较了两种计算图G1S(?)(G2V ∪ G3E)生成树数目的方法.第五章借助循环矩阵的特征根及其行列式给出了图Fn和Mn的规范拉普拉斯多项式,进一步得到了图凡和Mn的规范拉普拉斯谱.最后,应用该结果给出了图凡和Mn的Randic能量以及RE(Fn)和RE(Mn)的一个紧的上界,并确定了它们的生成树数目.


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