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《西北师范大学》 2002年
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非线性物理中若干问题的研究

石玉仁  
【摘要】: 非线性物理是非线性科学中的一个重要分支。本文对非线性物理中的孤立子理论和混沌理论作了初步的探讨,而对基于孤子理论而产生的求解非线性发展方程的双曲函数法作了较深入的研究。作为预备性的研究,首先对双曲函数法应用于求解非线性方程作了介绍,然后在该法思想基础上对其作了一定的推广。主要工作如下: (1)从血液流动的动力学方程出发,用减缩摄动法得到了阻尼KdV方程u_t+6uu_x+u_(xxx)+εu=0,然后对此方程进行了理论分析和数值研究。结果表明当ε0时,初始孤立波的振幅随时间指数式衰减;当ε0时,初始孤立波的振幅随时间指数式增长,并有新的孤立子产生。 (2)对双曲函数法进行了探讨,且对其进行了推广。首先以KdV方程和KdV-Burgers方程为例,指出在该方法中,孤立波解的阶数通过平衡非线性方程的非线性项和最高阶导数项得到是不必要的,同时也得到了KdV-Burgers方程的两组精确解。然后以求解非线性弦振动方程和组合KdV方程为例,指出其中的展开函数应该满足的两个条件。在这两个条件的指导下,通过选取其它的展开函数找到了这两个方程的更多的精确解。 (3)用双曲函数法,成功得到了非线性浅水长波近似方程组的精确孤立波解。实践证明这种方法不仅可以用来求解单个的非线性方程,而且可以用来求解有耦合的非线性方程组。 (4)对高维非线性方程的求解进行了探讨。以(3+1)维NNV方程为例,采用行波法约化方程,找到了两种变换关系,把对该方程的求解分别转化为求解一维KdV方程和mKdV方程,从而得到其若干精确解。这种方法可以推广开来,方便地建立起某一高维方程和其它低维非线性方程的联系,然后通过求解低维的非线性方程来找到高维非线性方程的精确解。 (5)对受迫阻尼弹簧摆系统的运动进行分析,结合数值计算和理论分析判断了非线性方程的解的各种性质,即系统运动的各种状态。结果表明:在系统参数的某个范围内,弹簧摆的运动状态呈现十分丰富的分岔、混沌等现象。
【学位授予单位】:西北师范大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2002
【分类号】:O415

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