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广义幂级数环理论研究

赵仁育  
【摘要】: 本文主要研究了广义幂级数环上的模范畴理论。全文由四章组成。 第一章主要研究了广义幂级数模。在一定条件下,给出了广义幂级数模是reduced模,Baer模,pp-模,拟Baer模,p.q.Baer模,Ikeda-Nakayama模和单列模的充分必要条件。这些结果统一并推广了已有的关于模的多项式扩张和幂级数扩张的相应结果。本章的最后,研究了广义幂级数环的一些特殊性质。 第二章研究了广义Macaulay-Northcott模的若干性质。首先,我们证明了一个重要的同构式,这个同构式不仅给出了广义幂级数模的新例子,而且借助于这个同构式,我们证明了:广义幂级数模的纯内射维数不会超过其基础模的纯内射维数;N是M的纯子模当且仅当[N~(S,≤)]是广义Macaulay-Northcott模[M~(S,≤)]的纯子模。其次,我们研究了广义Macaulay-Northcott模的Artin性质,拟对偶性质,考虑了广义Macaulay-Northcott模的一致维数和余一致维数.最后,我们讨论了广义Macaulay-Northcott模的包络性质。 第三章我们引入了广义逆幂级数模的概念。证明了:M是内射模当且仅当广义逆幂级数模M[[S~(-1)]]是内射模;α:E→M是M的内射预覆盖当且仅当α[[S~(-1)]]:E[[S~(-1)]]→M[[S~(-1)]]是M[[S~(-1)]]的内射预覆盖;N是M的纯子模当且仅当N[S]是幺半群模M[S]的纯子模。 第四章我们首先考虑了Malcev-Neumann环的三角矩阵表示问题。在一定条件下,证明了:Malcev-Neumann环具有主对角线上是素环的完全广义三角矩阵表示;Malcev-Neumann环和其基础环具有相同的三角表示维数。其次,我们考虑了McCoy环的扩张。证明了:右McCoy环上的全矩阵环和上三角矩阵环未必是右McCoy环,同时证明了右McCoy环上的两类特殊的上三角矩阵环是右McCoy环;右McCoy环上的多项式环是右McCoy环;如果R是右McCoy环,并且有古典右商环,那么R的古典右商环也是右McCoy环;设A是环,B是A的子环,如果环A是右McCoy环,那么环R(A,B)也是右McCoy环。


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