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Gorenstein同调理论的相关问题

张文汇  
【摘要】: Gorenstein投射模是上世纪九十年代Enochs基于Auslander的G-维数的定义而引入的[6],它是G-维数等于零的有限生成模的推广。2004年,Holm在任意结合环上引入并研究了Gorenstein投射模[60]。2008年,Sather-Wagstaff等人引入了二次Gorenstein投射模的概念。通过对Abelian范畴的子范畴——Gorenstein范畴的分析研究,证明了在交换环上,二次Gorenstein投射模和Gorenstein投射模是一致的[94]。这样,考虑非交换环上的二次Gorenstein投射模及其同调性质就是一个很自然的问题,这正是本文第二章所讨论的内容。第二章,我们在非交换环上引入弱二次Gorenstein投射模,讨论了这类模的诸多同调性质。 覆盖包络理论已经发展为同调代数的一个很活跃的分支,任意结合环上的任意模的平坦覆盖和余挠包络的存在性已于2001年得到证明[13]。我们知道,模范畴是模的复形范畴的子范畴。因此,自然地可以考虑复形范畴中的相应问题。关于复形范畴中的覆盖包络理论,Garcia Rozas已经在n-Gorenstein环上做了大量的工作。我们在第三章继续这方面的研究。首先,我们应用覆盖包络理论证明了在右凝聚环上,任意复形都存在每项均为Gorenstein平坦模的正合覆盖,并且({Gorenstein平坦模的正合复形},{Gorenstein平坦模的正合复形)}~⊥)是一余挠理论。 同时,我们引入了强Gorenstein平坦复形的概念,证明了强Gorenstein平坦复形是Gorenstein平坦复形。我们证明了在完全环上,强Gorenstein平坦复形和Gorenstein投射复形是一致的。我们还证明了当环R是左凝聚右完全环,_RR的FP-内射维数FP-id(_RR)≤n(n是一个固定的非负整数)时,若G是右R-模的强Gorenstein平坦复形,则对任意m∈Z,G~m是强Gorenstein平坦右R-模。 我们知道,极小生成子(极大余生成子)与具有某种性质的包络(覆盖)的存在性有着紧密的联系。本文在第四章定义了R-模的n-Gorenstein内射(预)包络(投射(预)覆盖),讨论了它的内部结构以及存在的条件。 倾斜理论在Artin代数上的表示论研究中扮演着重要角色。作为倾斜模的推广——星模也受到广泛关注。2005年,魏加群定义了n-星模和n-倾斜模,证明了n-倾斜模是n表示所有内射模的n-星模[99]。受此启发,我们在第五章引入并讨论了相对于一个给定模类u的n-星模。本章主要结果推广了魏加群在2005年得到的部分结果。


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