收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

求解空间分数阶扩散方程和对流扩散方程的有限差分格式研究

朱琳  
【摘要】:近几十年来,由于分数阶导数可以用来刻画反常扩散现象,而许多复杂动力系统都包含着反常扩散,故分数阶动力学方程是描述复杂系统的有效方法,从而使得分数阶偏微分方程在自然科学和社会科学得到广泛应用,由于其解析解不容易求出来,所以分数阶偏微分方程数值解的研究就显得尤为重要。求解分数阶微分方程数值解需要克服一些困难,其一,分数阶算子具有非局部记忆性质,导致分数阶微分方程的数值求解不稳定;其二,分数阶微分方程的数值求解通常需要求解全系数线性方程组,一般需要用O(N3)的计算时间和O(N2)的存储空间,其中N是网格点数;其三,对于给出的数值格式进行理论分析比较困难。能否构造既稳定又节省计算时间和存储空间的数值方法,而且还方便进行数值格式的理论分析?最大值原理做为整数阶微分方程数值方法中的经典理论分析工具为我们构造这样的格式提供了可能性,它不仅保证了格式的稳定性,而且可以用最大值原理对差分格式做一些先验估计,并且依次可以对差分格式的收敛性、稳定性等做进一步的证明;在此基础上,结合整数阶微分方程的一些经典数值方法,可以构造一些既节省计算时间、存储空间又方便理论分析的稳定的数值方法用以求解分数阶偏微分方程。本文主要基于Riemann-Loiuville分数阶导数定义,以最大值原理为基础,结合一阶精度的Grunwald公式和移位Grunwald公式,构造二阶精度的算子近似分数阶导数,再利用隐式欧拉方法和Saul'ev算法,给出了求解一维空间分数阶扩散方程及对流扩散方程的几种有限差分格式,另外介绍了求解空间分数阶扩散方程的满足最大值原理的中心差分格式,且对格式的稳定性、收敛性等进行了详尽的理论分析。本论文的主要内容及创新点如下:一,介绍了分数阶微分方程数值解相关的研究背景、意义、研究问题的提出以及国内外研究现状,并给出了本文需要用到的理论预备知识,即分数阶导数的几种常用定义及等价性关系、性质和最大值原理的基本知识。二,提出了满足最大值原理的二阶有限差分算子离散分数阶导数,结合隐式欧拉公式构造了解一维单边、双边空间分数阶扩散方程及一维单边、双边空间分数阶对流扩散方程的二阶有限差分格式,并且用最大值原理或者能量不等式法进行了稳定性证明和收敛性分析。三,由上一章提出来的满足最大值原理的二阶算子结合Saul'ev算法,构造了一种对称半隐格式求解空间分数阶扩散方程及空间分数阶对流扩散方程。此格式形式上是隐格式,但是计算过程是显式的,大大节省了计算量和存储量。对此数值方法的稳定性、误差分析进行了详尽的分析证明,并通过理论证明和数值算例均验证了此半隐格式在l2范数意义下的误差估计式为C(△t2h-2(1-α)+△t+h2),其中α是分数阶导数的阶且△t,h分别是时间和空间步长。四,给出一个非整数节点上的二阶有限差分算子离散分数阶导数项,并结合最大值原理,构造了解单边空间分数阶扩散方程的一个定义在非整数节点的有限差分格式,并且用最大值原理进行了稳定性、收敛性分析。


知网文化
中国知网广告投放
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978