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《新疆大学》 2013年
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分数阶偏微分方程的若干近似算法研究

张新东  
【摘要】:分数阶微积分方程是经典微积分方程自然的数学推广,具有深刻的物理背景和丰富的理论内涵,在物理、生物、化学等多个学科领域具有广泛的应用.对分数阶微积分方程的研究,不仅具有重要的学术研究价值,而且具有广阔的工程应用前景.目前,分数阶微积分方程的研究己成为国际上的一个热点研究课题.本文主要研究分数阶偏微分方程的几种近似算法(包括近似解析算法和数值算法). 本文的研究内容主要包括三个部分:第一部分研究同伦分析方法(Homotopy analysis method-HAM)在求解分数阶偏微分方程近似解析解中的应用:第二部分研究局部间断有限元方法(Local discontinuous Galerkin method-LDG)在求解—维分数阶偏微分方程数值解中的应用;第三部分研究有限元方法(Finite element method-FEM)在求解二维分数阶偏微分方程数值解中的应用. 在第一部分中,我们主要研究同伦分析方法在求解空间分数阶对流-弥散方程及时-空分数阶扩散方程中的应用,重点研究格式的构造及格式的有效性.数值实验说明此方法在求解分数阶偏微分方程的近似解析解方面是有效的:在第二部分中,我们主要研究一维时间分数阶Tricomi型方程及时间分数阶Fisher方程的局部间断有限元解法.通过构造一种隐式的、全离散局部间断有限元格式来求解上述方程的数值解,并通过理论分析证明了格式的稳定性,同时给出了详尽的误差估计.最后的数值实验结果表明所构造的格式是有效的;在第三部分中,我们主要研究二维时间分数阶扩散方程和Tricomi型方程的有限元解法,通过将时间方向上的有限差分方法和空间方向上的有限元方法相结合构造一种无条件稳定且收敛的格式,并对格式的稳定性和误差估计给出了详尽的分析.详细的数值实验结果验证了理论分析的正确性.
【学位授予单位】:新疆大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2013
【分类号】:O175.2

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