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《新疆大学》 2019年
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特征值个数较少的图的谱刻画研究

殷代君  
【摘要】:代数图论是图论学科的重要研究领域之一,主要运用代数方法来解决图论问题.代数图论有三个主要分支,分别为图与线性代数,图与群论,图不变量.其中图与线性代数的研究核心是图的谱理论.图谱理论是通过研究与图相关的矩阵(邻接矩阵,拉普拉斯矩阵,无符号拉普拉斯矩阵,正规拉普拉斯矩阵和距离矩阵等)的谱的性质来研究图的组合性质.图谱理论研究兴起于20世纪50-60年代,近20-30年来得到迅猛的发展,它是图论,组合与代数的一个交叉研究领域,是代数图论的重要研究分支.1957年,L.Collatz和U.Sinogowitz的数学论文”Spektren Endhcher Grafen”被视为图谱理论研究的开端,经过50多年的发展,它在图论,物理,量子化学,计算机科学,互联网技术等许多方面都有广泛的应用.图的谱特征往往可以反映出图的结构特征,而不同特征值输数目较少的图通常具有特殊的结构特征(如高度对称性)与较好的组合性质.目前,对含有三个或四个不同特征值的图的谱刻画已取得许多重要进展.然而,对于给定的k7,恰有k个不同特征值的图的谱刻画问题还远未解决或未完整解决.基于此,本文研究不同特征值数目较少的图的谱刻画问题,主要包括有一个拉普拉斯特征值重数较大的图的谱刻画和邻接特征值数目较少的道半正则图的谱刻画.本文分为三章,具体结构如下:第一章主要介绍了图谱理论的研究背景,接着引入了本文所用到的符号与概念.随后对问题的研究背景以及研究进展作了概述.最后介绍了本文的主要结果.第二章研究了拉普拉斯特征值重数m_L(μ)≥n-4的图的谱刻画.首先刻画了集合G_L(n,n-3)中的图,即,有一个拉普拉斯特征值是n-3重的图.该类图具有三个或四个不同的拉普拉斯特征值.通过排除若干禁用子图得出结论,G_L(n,n-3)中的图,除了G_(n,r)外均为余图(cograph),即不含导出P_4的图,从而确定了所有这类图.最终与Mohammadian和Tayfeh-Rezaie的结果(G_L(n,n-3)中有四个不同拉普拉斯特征值的图的谱刻画)构成了G_L(n,n-3)中图类的完整刻画.其次对集合G_L~+(n,n-4)中的图,即拉普拉斯谱半径为n-4重的图进行了研究.通过排除所有禁用子图得出结论,拉普拉斯谱半径为n-4重的图均为余图(cograph),从而给出了G_L~+(n,n-4)(n≥8)中的图的完整刻画.进一步地,我们给出了G_L~-(n,n-4)(n≥8),即次小拉普拉斯特征值为n-4重的图的完整刻画.同时证明了,所刻画的图类都是DLS图(由拉普拉斯谱唯一确定的图).第三章研究了道半正则图的邻接谱刻画.首先给出了道半正则图的定义,即,设G是一个(V_1,V_2)-半正则图,对任意l0,从v∈V_i(i=1或2)出发的l长闭道数与v的选取无关,则称G是道半正则图.一个道半正则图一定是半正则图,但是反之则不然.我们证明了,道半正则图一定具有半正则二等价划分,反之,给出了一个半正则二等价划分图成为道半正则图的充分条件.其次重点刻画了具有四个不同特征值的道半正则非偶图.令G~W(t,s)表示具有t个不同特征值,其中s个是单特征值(重数为1)的连通非偶道半正则图集合.令G~W(t,s;λ)表示含特征值λ的集合G~W(t,s)的子集.先确定了集合G~W(3,s)(s≤2)中的图,给出了G~W(4,3)中图的完整刻画;之后讨论了G~W(4,2)中图的性质,重点刻画了G~W(4,2;0)中的图类.最后研究了道半正则偶图的相关性质,就偶图的零度(特征值0的重数)达到最大,最小和次小时,刻画了具有五个不同特征值的道半正则偶图.进一步地,针对零度为其他情况时,讨论了这类偶图的存在性并给出了一个必要条件.
【学位授予单位】:新疆大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O157.5

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