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《新疆大学》 2019年
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高度对称图的谱及相关问题研究

鲁卢  
【摘要】:代数图论是通过运用线性代数、群论、组合设计等知识来分析图的代数性质,从而刻画图的组合结构的一门学科,它是图论研究的一个重要分支.作为代数图论的一个重要研究方向,图谱理论主要研究与图相关的矩阵的特征多项式、特征值、特征子空间等相关的代数参数性质,以及它们与图结构属性之间的关系.高度对称图是指具有较强对称性的图,从代数上看就是具有较大自同构群的图,它们往往具有良好的代数组合性质,是连接图论、组合设计和代数学理论的桥梁.因此,高度对称图是图谱理论研究中一类重要的研究对象.高度对称图包含的内容非常丰富,一方面不同特征值数目较少的图通常具有较强的对称性,另一方面凯莱图是一类典型的高度对称图.基于此,本文一方面刻画了几类特征值数目较少的图,另一方面研究了凯莱图上的整谱图及强正则图.另外,我们还研究了一类特殊的反对称图(门槛图)和一类特殊的高度对称图(B(n,k)的谱.本文分为四章,具体结构如下:第一章首先介绍了图谱理论的研究背景,其次给出了本文所用到的基本概念与符号,接着概述了本文所涉及问题的研究进展,最后介绍了本文的主要结果.第二章刻画了几类不同特征值数目较少的图.具体地,我们分别刻画了最小距离特征值重数为n-3的图,最小距离无符号拉普拉斯特征值重数为n-2的图,距离拉普拉斯谱半径重数为n-3的图和恰有两个距离特征值(计算重数)异于-1和一3的图.第一类图和第四类图至多有四个不同的距离特征值,第二类图至多有三个不同的距离无符号拉普拉斯特征值,第三类图至多具有四个不同的距离拉普拉斯特征值.第三章分别研究了门槛图和超立方体相继两层导出子图B(n,k)的距离谱.门槛图具有较差的对称性,通常称这样的图为反对称图.反对称图一般具有较多的不同特征值,我们分析了门槛图的距离谱的诸多性质并完全确定了距离特征值互不相同的门槛图.而B(n,k)作为超立方体的导出子图,具有较好的对称性,是一类高度对称图,我们完全确定了B(n,k)的距离谱,其恰有4个不同的距离特征值.第四章研究了凯莱图中的整谱图及强正则图.一方面我们给出了二面体群Dn上的凯莱图是整谱图的一些充要条件并完全刻画了二面体群Dp(p是素数)上的整谱凯莱图;另一方面我们研究了初等阿贝尔2-群上的强正则凯莱图,给出了点传递图是强正则图的一个充要条件并得到了几类初等阿贝尔2-群Z2n上的非平凡强正则凯莱图.
【学位授予单位】:新疆大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O157.5

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