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《新疆大学》 2003年
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匹配理论和网络可靠性的若干问题

赵飚  
【摘要】: 本文由三部分内容组成:一.平面2-圈共振图的构造与识别;二.2m-临界图;三.一类Cayley图的Vosperian性质。下面一一介绍。 一.平面2-圈共振图的构造与识别 化学图论研究化学分子图的拓扑不变量和拓扑性质,以及它们与化合物物理化学性质之间的相关性,因而在预测、合成新的化合物及药物方面有重要的应用。 在苯类碳氢化合物(属芳族烃)的拓扑理论中,如果将碳原子视为点(vertex),碳原子之间的键视为边(edge),并忽略氢原子,那么一种苯类碳氢化合物的碳原子骨架图可表示为一个六角系统。这种六角系统是2-连通平面图,其内面的边界是六边形。六角系统H的一个完美匹配(1-因子)也叫做H的一个凯库勒结构。六角系统H中的圈C称为共振的,如果存在一个H的凯库勒结构K使得C是K-交错圈。共振圈模型理论表明,长度相异的共振圈有着不同的共振能。当共振圈的长度为4n+2时,共振圈的共振能与n成反比。因此在六角系统中,共振六边形的共振能最大。另一方面,从纯实验的角度出发,著名化学家Clar等发现,恰当地确定一个芳香性六隅体可预测出多环芳族烃的许多电性质。根据Clar的芳香性六隅体理论,六角系统中的六隅体就是共振的六边形,六角系统的Clar公式是一个基数最大、互相共振、互不相交的六隅体集合,这里“互相共振”是指,存在一个凯库勒结构K使得所有不交的六边形是K-交错的。一个有意义的问题是:在什么条件下,六角系统中任意t个不交的六边形是互相共振的?若六角系统H的任意t个(1≤t≤k)不交六边形是互相共振的,则H称为k-共振的或k-可覆盖的。 “覆盖”的概念最初由Gutman提出。张福基和陈荣斯首先研究了1-共振六角系统,给出了六角系统是1-共振的充要条件。郑茂林进一步引入k-可覆盖六角系统的概念并刻划了其结构,确定了六角系统k(≥2)-共振的充要条件。作为共振六角系统概念的自然推广,郭晓峰和张福基引入了k-圈共振图概念。 连通图G称为k-圈共振的,若对于任意t,1≤t≤k,G中任意t个不交圈都是互相共振的,即G中存在一个完美匹配M使这t个圈皆为M-交错圈。由定义可看出,k-圈共振图也是(k-1)-圈共振的。 文献[40]中,郭晓峰和张福基给出了k-圈共振图的充要条件,并 进一步研究了一般平面k-圈共振图(k=1,2),给出了平面卜圈共 振图和2一圈共振图的充分必要条件。然而直接利用上述平面1,2一圈 共振图的充分必要条件,不能有效地判定一个给定平面图是否是平面 1;2-圈共振的。为了设计识别平面1-圈共振图的有效算法,徐志霞和 郭晓峰卜给出了新的平面 1-圈共振图的充分必要条件,以及构造平 面1一圈共振图的递归方法,并建立了一个识别平面卜圈共振图的线 性算法。在第一、二章中,我们进一步研究了平面2一圈共振图的结构 性质,刻划了平面2一圈共振图的四种结构。根据所刻划的四种结构, 我们给出了构造与分解平面2一圈共振图的方法,同时建立了一个识别 平面2一圈共振图的线性算法。为了较详细地介绍我们所做的t作,首 先给出一些相关的概念。 连通图G中的极大2一连通子图或割边称为G的块。设B是G中 恰有两个附着点的2-连通子图,则q凤G卜凤用]称为B在G中的补 图,记为万。 如果图G中的一条路P的内点的度数皆为2,而其端点的度数不 等于2,则称P是G的一条链。将G中链P的所有内点组成的集合记 为VIp广 对图G中的两个顶点儿V,如果。包含在G的某个极大2一连通 子图,并且任意包含。的圈也包含。,那么称顶点。圈相关于。,记 为。。。。若顶点。也圈相关于。,则称。和。是互相圈相关的,记为 ttoD。 根据郭晓峰和张福基给出的平面2一圈共振图的充要条件,我们刻 划出了平面2一圈共振图G的4种基本的结构如图1所示: 结构1:P是一条偶长链,其端点为儿V,G一m刊恰有两个2一 连通块Bl,Bhw是其公共点,并且在Bl中。。w,在B。中。。w。 结构2:P是一条奇长链,其端点为儿儿c-v,瞩卜恰有三个2- 连通块BI,&,马,并且在BI中。。1,在B3中。。9,以及在BZ中 xMy。 结构3:P是一条奇长链,其端点为。,…G-VI沪)不是2-连通 的,其 2一连通块 BI,BZ,…,B小三幻互不才交回 在 G一巧P)中,割边导 出的子图皆为奇长链。 结构4:Bl是恰有两个附着点的2-连通子图,京不是2一连通的 并且恰有三个2一连通块BZ,B3,B4,并且在B;中,i二1,2;3,4,B;的 2 两个附着点是互相圈相关的。 结构1.结构2. eM 结构3.结构4. M.e 上述四种结构中的恰有两个附着点的2一连通子图称为结构块。 如果平面1一圈共振图G中不存在两个不相交圈,那么G称为简单 的。基圈数为1,2的平面卜圈共振图都是简单的。我们将kK22卜重 KZ的偶剖分称为平行奇链,显然,平行奇链是平面简单1一圈共振图。 平面简单1一圈共振图是构造与分解平面2一圈共振图的重要基础。我 们给出了平面简单1一圈共振图完全刻划。 定理一.平面2一连通
【学位授予单位】:新疆大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2003
【分类号】:O157.5

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