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《扬州大学》 2017年
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Levinson理论下功能梯度梁板结构的自由振动分析

王瑄  
【摘要】:功能梯度材料(functionally graded materials,FGM)是一种材料性质在空间连续变化的新型非均匀复合材料。功能梯度材料梁板结构作为应用最广的构建类型之一,其力学行为的研究已成为固体力学的一个活跃的研究领域。其中,功能梯度梁板在不同梁板理论下的振动响应是其中的一个重要研究方向。本文以Levinson高阶剪切理论下功能梯度材料梁、板的自由振动响应为题,重点研究Levinson理论下非均匀梁板构件的振动响应与经典理论下参考均匀梁板的振动响应之间的关系,实现功能梯度梁板自由振动响应的均匀化和经典化表示。论文主要由以下三部分组成:1、假设材料性质沿着高度连续变化,基于Levinson高阶剪切变形梁理论,建立了功能梯度矩形截面梁自由振动位移形式的控制微分方程。在调和振动的假设下消去时间变量,将偏微分方程的混合问题转化为常微分方程边值问题。应用打靶法数值获得了不同边界条件下功能梯度梁的自由振动响应。定量分析了材料性质梯度变化参数、几何参数(细长比)以及边界条件对固有频率的影响规律。在此基础上,进一步消去控制方程中的面内位移和转角,得到了只用挠度表示的控制微分方程。在两端简支边界条件下,根据微分方程和边界条件在数学上的相似性,推导出了高阶剪切变形理论下功能梯度梁的固有频率与经典理论下参考均匀梁的固有频率之间的解析转换关系。从而实现了高阶剪切变形理论下两端简支边界功能梯度梁的自由振动响应的经典化和均匀化表示。通过数值结果的对比和分析,检验了该转换关系的正确性。2、基于Levinson板理论,假设材料性质沿着板厚度方向按幂函数连续变化,研究了周边简支功能梯度多边形板的自由振动响应。不失一般性,在直角坐标系中建立了功能梯度板自由振动调和响应的控制微分方程。消去方程中的面内位移和转角,得到了只用挠度表示的独立的高阶偏微分方程。根据微分方程边值问题之间的相似性,推导出了在Levinson理论下周边简支功能梯度多边形板的固有频率与经典理论下对应均匀板的固有频率之间精确的解析转换关系。由此分别获得了周边简支FGM矩形板以及其它简支FGM正多边形板无量纲形式的固有频率解答。对于四边简支功能梯度矩形板,分别给出了转换解与本文所得Navier形式的解析解以及文献中结果的比较,证明了转换解的正确性。退化到经典理论下,证明了功能梯度板的固有频率与均匀板的固有频率成比例,比例系数与板的几何形状和边界条件无关,仅由材料梯度变化规律决定。3、基于Levinson板理论,在柱坐标系下研究了功能梯度材料圆板轴对称模态的自由振动响应。以中面位移和转角为基本未知量并假设振动响应为调和形式,建立了 Levinson高阶剪切板理论下功能梯度圆板位移形式的自由振动控制方程。在周边简支和周边夹紧两种边界条件下应用打靶法数值了求解相应的微分方程两点边值问题,获得了功能梯度圆板轴对称振动的固有频率。消去三个联立的控制微分方程中的径向位移和转角,得到了只用挠度表示的六阶的控制微分方程。由于即使在周边简支边界条件下,也很难证明两种板理论下边界条件之间的相似性,这里将边数足够多的正多边形板近似看做圆板,应用FGM Levinson正多边形板与对应均匀Kirchhoff板的转换关系,给出了功能梯度Levinson圆板与均匀Kirchhoff圆板的固有频率之间的转换关系,因此上述转换关系只是近似的。
【学位授予单位】:扬州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:TU311.3

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【参考文献】
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