几类高次微分系统中心条件的研究

【摘要】：平面非线性微分方程定性理论有两大基本问题,即中心焦点和极限环问题.其中中心焦点的判定问题又是极限环问题研究的前提和基础,因而有关对中心焦点和极限环问题的研究就构成了数学的一个独立分支.在对自治系统解的定性性态的研究发展中,有一个与解决Hilbert第十六问题密切联系的问题,也就是对多项式系统中心焦点问题的研究.至今,很多方法都被尝试,但也只有二次多项式系统和一些特殊三次多项式系统的中心焦点问题被解决,而一般三次及更高次多项式系统的中心焦点问题还没有完全解决.在本文中我们采用了 Poincare方法分别研究了五次周期微分方程dr/dθ=r3(P2(cosθ,sinθ)+ P4(cosθ,sinθ)r2),和四次周期微分方程dr/dθ=r2(P1(cos θ,sin θ)+ rP2(cos θ,sin θ)+ r2P3(cos θ,sin θ)),(这里(cos θ,sin 0)=(?)Pij cosiθ siniθ,Pij为实数 n = 1,2,3,4;i,j= 0,1,2,3,4)以 r = 0 为中心的条件,即这些多项式微分方程何时在r = 0附近由周期解包围.并由此得出了与它等价的平面多项式微分系统及以(0,0)为中心的必要条件.同时我们利用Alwash-Lloyd方法,证明了对于微分系统(1)(2)(3)所得必要条件也是充分的,即当这些条件成立时系统(1)(2)(3)以(0,0)为组合中心.另外我们关于微分系统(4)中心的研究结论推广了 Alwash的相应结果.