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《扬州大学》 2004年
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超导模型混合态性质的研究

黄春妍  
【摘要】:在超导模型中,人们常用复值序参数u表示超导材料的局部状态。|u|表示超导电子对的密度,|u|≈1对应于超导态,|u|≈0对应于正常态。u的孤立零点,在其周围u的环绕数非零称为涡旋。Ginzburg-Landau参数k=1/ε决定了超导材料的类型:k>1/2~(-2)称为二型超导,k<1/2~(-2)称为一型超导。我们考虑ε→0的情形,即二型超导。众所周知,在外磁场作用下置于其中的超导体会产生相变。当外磁场小于第一临界磁场时,材料处于超导态,这时处处有|u|≈1,也称为Meissner态。第一临界磁场达到时会产生相变从超导态到达混合态,同时会出现几个度为一的涡旋。混合态是指超导态与正常态共存。随着外磁场的增加,涡旋的数目变的越来越多,大部分的度仍然是一。当外磁场远大于第一临界磁场时,涡旋的数目与外磁场成比例,它们通过库仑作用互相排斥,此时我们称磁场已经穿透材料,在这种状态下,通常导体状态(|u|≈0)被限制在一些半径很小(<<ε)的涡旋之内,在它们以外是超导状态(|u|≈1)。当第二临界磁场达到时又产生相变从混合态到达普通态,此时涡旋的密度很大,之间的距离比ε还小,几乎处处有|u|≈0,超导状态被完全破坏。 我们知道二型超导是由超导电流的类似涡旋结构的出现所刻画的,当传输电流加在超导体上时,这些涡旋会产生一股力量使得涡旋在超导体中移动,而这种运动会消耗能量并产生电阻因而对实际应用不利,所以理解涡旋的结构不仅对于数学理论的完善而且对于实际应用都具有很重要的意义。本文研究两类超导模型在混合态的涡旋结构并给出了相应的能量渐进估计。第一章讨论超导体在非均匀外磁场中的能量估计。对于任意磁场的超导模型,Sandier和Serfaty证明了当外磁场靠近第一临界磁场时,能量的极小化子诱导的磁场收敛到一个自由边界问题的解并且只有当外磁场的阶为第一临界磁场时该自由边界问题有非平凡解。他们猜想当外磁场远离第一与第二临界磁场时,极小能量与变磁场的权的形式成比例。 扬州大学硕士学位论文 在第一章中我们证明了该猜想。证明方法主要是通过给出能量的上界估计和下界 估计。由于能量主要集中在涡旋上,所以超导体的能量估计关键在于精细估计出 每个涡旋的能量以及涡旋的数目。由于外磁场不再均匀因而涡旋的分布也不再均 匀,如何判断涡旋的数目以及给出区域的合适划分显得极为困难。我们猜测粗略 、二。口*、、、、p(b,)he、,:二二珊。。、品。口。二口二}贝}p(b,)her廿、 的看,涡旋的密度为上立上」二业生,从而区域贝包含的涡旋数目为竺竺上上五竺卫全竺,其中 2兀一2厂 口,二,、子~,、~.‘~,二二二、~*、。、。二,_,击~、,_1.‘、_、。,,、。,_一二 八是使’(x)积分平均取到的点,每个涡旋的能量为厂’n套元,将涡旋的数目乘以 涡旋的能量,这样总的能量为粤「,(x) dxh_‘Ines旱井。因而粼:以:一‘{率刃为 2’扩’“‘:了hex丫P(b:)h。一 边长对区域进行划分,使得每个小区域中差不多包含一个涡旋。在每个小区域上 构造一个涡函数并给出涡旋能量的上界估计,将所有小区域上的涡旋能量的上界 估计相加,该上界即为极小能量的上界。下界的证明是通过对区域进行新的划分, 在每个小区域上给出与我们已证得的上界估计相匹配的下界估计,从而证得能量 的渐进估计。第二章讨论变厚度超导模型在混合态的能量估计,着重研究能量对 于变厚度的依赖关系。该模型是由Chapman和杜强【13]通过穿过超导薄膜的平均 过程,极小化一个能量泛函得到的,从而将一个三维问题约化为两维问题。丁时 进和杜强在【14,151中证明了当外磁场靠近第一临界磁场时,能量泛函只有有限个 涡旋并给出了涡旋的分布。然而当外磁场远大于第一临界磁场时,涡旋的个数不 再有限,涡旋的区域覆盖了整个样品,因而与【14,15]相比,对于涡旋结构的研究 显得更为精细和复杂。我们能够证明这个能量泛函的极小化子的涡旋的个数事实 上是与变厚度的权的形式成比例的因而是发散的。证明方法也是通过上下界方法。 我们证明了极小能量与变厚度的权的形式成比例。我们发现事实上非均匀外磁场 作用在均匀厚度超导体上时,非均匀外磁场对能量的影响等价于均匀磁场作用在 变厚度超导体上时,变厚度对于能量的影响。
【学位授予单位】:扬州大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2004
【分类号】:O411

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