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Hilbert空间中稠定闭算子的Moore-Penrose逆的扰动定理

李维扬  
【摘要】: 广义逆理论是应用十分广泛的数学分支,已成为现代数学中重要的研究方向之一.广义逆理论的内容极其丰富,主要有矩阵广义逆、线性空间中线性变换的广义逆、Hilbert空间中线性算子的线性广义逆、正交广义逆及Banach空间中线性算子的线性广义逆等.广义逆理论涉及代数、分析、统计、计算、优化、控制等多个学科,因此这一学科有着多个研究领域.广义逆理论之所以应用如此广泛,这主要因为广义逆所研究的对象一般涉及到所谓的“不适定”线性问题.这些问题所包含的信息不是太多就是太少,因此不能作为非奇异问题进行求解.然而,在某种意义下,它们不但有“解”,而且甚至有唯一的“解”,例如“最小二乘解”或“最小范数解”等.因此,在凡是遇到“不适定”线性问题的学科,便出现了广义逆.将广义逆与非线性分析的工具结合,也能求解一大批非线性“不适定”问题.所以研究算子广义逆理论具有重要的理论意义和实际应用价值. 1920年, E.H.Moore首先对任意的矩阵,引入广义逆矩阵的概念. 1955年, R.Penrose证得:存在唯一矩阵B满足下面的四个矩阵方程: ABA = A, BAB = B ,( AB ) * = AB ,( BA) *= BA.这些条件等价于Moore的条件.满足这些条件的唯一矩阵B被称之为A的Moore-Penrose广义逆,且记为A? .由于Moore-Penrose广义逆具有极小二乘性质, Moore-Penrose广义逆的连续性也被广泛研究.近年来,马吉溥、曹伟平、宋国柱、陈果良、薛以锋、魏木生、魏益民、黄强联等人对Hilbert空间中有界线性算子的Moore-Penrose广义逆进行了系统的研究,得到了一系列Moore-Penrose广义逆连续的充分必要条件.然而,他们讨论的都是有界线性算子Moore-Penrose广义逆的连续性.无界线性算子的Moore-Penrose广义逆的连续性也是值得探讨的问题.由于无界线性算子的定义域不是全空间,有界线性算子情形的技巧不能完全应用于无界线性算子,因此,我们必须引入新的技巧和方法.本文将主要讨论Hilbert空间中闭线性算子Moore-Penrose逆的扰动问题: 我们知道,稠定闭线性算子是一类重要的无界线性算子,设T是X到Y的稠定闭线性算子,且存在有界Moore-Penrose逆.自然地,我们可以研究下面的扰动问题:“小”扰动δT在什么情形下可以保证扰动算子的Moore-Penrose逆T ?存在?如果存在,我们能否给出具体的表达式?值得注意的是,在已有文献中对上述问题的研究都假定了的范数小于1.如果直接假定的范数小于1,那么算子的可逆性和逆算子的有界性可以由著名的Banach引理直接得到.那么在不假定δTT?的范数小于1的情况下,如何讨论相应的扰动问题?因此,考虑这个问题的关键就在于如何证明算子可逆且其逆算子有界. 本文中,我们利用一个新的方法证明算子的可逆性.进而给出扰动后的算子T的广义逆稳定的充分条件,即: 设X ,Y是Hilbert空间, T∈C ( X , Y), , T有有界的Moore-Penrose逆.设δT∈L ( X , Y),关于T相对有界且界b 1,即若T = T +δT满足则闭,存在有界的Moore-Penrose逆,且其中PN ( T)为在X上的唯一保范延拓.


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