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《扬州大学》 2009年
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解一类微分方程的预条件方法的收敛性

徐锦秋  
【摘要】: 本文主要研究一类微分方程数值解法。微分方程的数值解法通常是用差分的方法得到线性方程组,然后对这个方程组进行求解。根据实际问题的需要,这种线性方程组通常是大型稀疏线性方程组。 所以本文主要讨论的是:对于大型的线性方程组而言,如何加快收敛速度的问题。对于这种方程组是很难用直接法去求它的精确解的。因此我们一般采用迭代法求解,因而讨论迭代法的收敛性以及收敛速度成为一个值得关注的问题。不收敛或收敛速度慢的迭代方法是没有实用价值的。 近年来,预条件方法被广泛研究,它能大大加快迭代法的收敛速度。本文主要研究讨论这种方法,如何选择好的预条件子,使预条件方法加快收敛速度。因为迭代法的收敛速度是与迭代矩阵的谱半径相关的,所以本文主要是讨论比较谱半径的大小。 正文包括五章。第一章是引言部分,首先从微分方程导出线性方程组,再介绍什么叫做线性方程组的迭代法,给出几种常见的迭代法的形式,最后引出预条件方法;第二章是预备知识部分,主要列出本文中所要使用的定义和引理;第三章是已有相关知识,主要介绍几种常见的预条件子,简要说明近年来预条件理论的发展;从第四章开始就是正文,下面作详细说明。 第四章叙述当A是非奇异不可约M-矩阵时,预条件子P = I + S中S要满足什么条件,才有预条件方法和原来的迭代方法之间很好的比较定理,并以具体的预条件子为例,说明定理的普遍性。另外还通过比较不同预条件子对应的预条件方法收敛速度,说明如何选择更好的预条件子。 第五章具体讨论预条件子P_1 ,首先说明以P_1为预条件子的预条件方法在一定条件下是收敛的,并且能加快原迭代方法的收敛速度;然后讨论了这种预条件方法最佳因子的选择;接着通过与以P_n ,P_α为预条件子的预条件方法的比较说明P_1优于这两个预条件子;最后给出数值例子验证定理的正确性并简要说明研究前景。
【学位授予单位】:扬州大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O241.6

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【参考文献】
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【共引文献】
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