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某些生态模型的空间模式和行波

田灿荣  
【摘要】: 反应扩散方程组在生态学方面最近的发展和在物理学方面传统的重要性导致了非线性偏微分方程各个方面的广泛研究。本文重点研究几类描述生态现象的反应扩散方程组的空间模式和行波。自从1952年Turing关于空间模式的论文发表以后,空间模式在物理、化学、生物学等许多领域都是一个研究热点。Murray(2002)在他的生物数学的书中列举了大量的空间模式在生物学领域应用的实例,Maini等人在最近综述性的文章中也肯定了空间模式在胚胎学中扮演着重要的作用。行波解理论也是现代数学发展得最快的领域之一,它在生物学、化学、流行病学和物理学等学科都有着重要的应用价值。 第零章前言,我们简单介绍了空间模式的历史背景,以及近年来发展的状况,特别介绍了空间模式在生物学上的应用。除了自扩散以外,交错扩散也能导致空间模式的产生,这一现象最早是由Shigesada等人(1979)提出的,Lou等人(1996)研究了具自扩散和交错扩散的竞争模型,他们证明了交错扩散能够导致系统产生非常数的稳态解,他们的工作是研究交错扩散空间模式的理论基础。Farkas(1997)给出了在反应扩散模型中引入交错扩散的方法。我们主要研究具有交错扩散种群动力学模型中空间模式的生成。此外,从Fisher(1937)发现Fisher-KPP方程有行波解以来,行波解的研究究也是现代数学、物理学等领域的一个热点问题。我们在Wu和Zou(2001)提出的单调迭代方法的基础上,研究具有更一般反应函数的反应扩散系统的行波解以及多维行波解。 第一章考虑两种群模型,讨论一般的两个方程的反应扩散系统的空间模式,其中的扩散项是一般的强耦合扩散。首先给出全空间上出现空间模式的充分条件和必要条件,然后讨论了有界的矩形区域上空间模式生成的充分条件,最后我们针对一个具体的竞争模型,找到了参数满足的一个充分条件使得空间模式生成。 第二章研究三种群食物链模型的空间模式。首先我们给出了Turing不稳定的充分条件,即只有交错扩散的出现才能导致Turing不稳定,这解决了空间模式在什么时候产生的问题。其次,我们利用Lcray-Schaudcr理论以及先验估计证明非常数正解存在性的方法,证明了该模型非均匀稳态解的存在性,这回答了空间模式为什么产生的问题。最后,我们用数值方法模拟出空间模式的图像,这回答了空间模式是属于哪。类模式的问题。 第三章研究反应扩散系统的行波解,我们讨论了一般带时滞反应扩散方程组的行波解,其中反应项是混拟单调的。利用Pao(1992)提出的构造单调迭代序列的方法,我们首先证明了只要找到耦合上下解就能保证行波解的存在性,然后进一步弱化了耦合上下解的光滑性条件,提出了耦合拟上解和拟下解的概念,证明了耦合拟上解和拟下解也能保证行波解的存在性。作为一个特例,即反应项是拟单调的,我们的构造耦合拟上解和拟下解的方法也适用并且与以前文献的结论一致。最后我们证明了一个具体的互惠模型行波解的存在性。 第四章研究多维行波解,我们以一类昆虫爆发模型为例,讨论了单个反应扩散方程的多维行波解。我们将上下解和单调迭代的方法推广到了多维空间的情形,定义了广义上解和广义下解,证明了只要找到模型的广义上解和广义下解,当波速大于某个正常数时,该模型存在多维行波解,该行波解也是波前解。而且我们用数值方法模拟出了上解,以及行波解传播的过程和传播速度。 第五章总结与思考,我们总结了全文的工作,并且对将来进一步的研究做了一些展望。


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