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《扬州大学》 2009年
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两类矩阵的预条件迭代法的收敛性

赵丹  
【摘要】: 数学、物理、力学等学科和工程技术中许多问题的解决最终都归结为解一个或一些大型稀疏矩阵的线性方程组,而对这种方程组人们一般采用迭代法求解,因此迭代法在求解大型计算问题中正发挥着重要的作用.不收敛或收敛速度慢的迭代格式是没有实用价值的.因此,寻求快速收敛的迭代格式,确定某些迭代格式中的参数,对迭代格式自身的改进等都是近代寻求快速收敛的迭代格式的方式. 对于求解这些大型稀疏线性代数方程组,人们最早发现的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss ? Seidel迭代法.在引入松弛因子和加速因子之后, SOR迭代法、AOR迭代法等迭代方法也出现了,这些迭代法我们统称为基本迭代法.它们都是通过构造迭代数列,取数列的极限得到方程组的精确解.这些方法给我们解大型的线性方程组带来了很大的方便.近十多年,稀疏线性方程组的迭代解法有了很多新发展,特别是预条件矩阵的引入,通过预条件矩阵的作用加快迭代的收敛速度. 本文利用预条件矩阵I + Sα,对稀疏线性方程组讨论了当系数矩阵为H -矩阵时,预条件SOR迭代法的收敛性及预条件AOR迭代法的收敛性,然后讨论了当系数矩阵为Z -矩阵时,根据不同的分裂取两种不同的迭代矩阵得到相应的预条件AOR迭代法的收敛性,并对两种预条件AOR法的收敛性进行比较,得到了相应的比较定理,从而推广和改进了原来已有的结论. 以下为本文的结构和主要内容: 第一部分是引言.我们给出了预条件方法产生的背景,以及基本的SOR迭代法,AOR迭代法的迭代矩阵,引进预条件矩阵P ,并给出了预条件SOR、预条件AOR迭代法的迭代矩阵. 第二部分是预备知识.这部分是第四部分和第五部分的准备,主要给出一些重要的定义、引理,如H -矩阵、Z -矩阵及矩阵分裂的定义等. 第三部分是已有相关结论.简要地说明了近几年来预条件理论的发展以及一些已取得的重要成果. 第四部分是本文的主要结论之一.这一部分主要讨论当线性方程组的系数矩阵是H -矩阵时的预条件SOR迭代法和预条件AOR迭代法的收敛性,并且讨论了H -矩阵及H -矩阵的比较矩阵在预条件SOR迭代法下的收敛率的比较定理. 第五部分也是本文主要结论之一.主要研究线性方程的系数矩阵是非奇异Z -矩阵时,在两种不同的预条件AOR迭代法下的收敛性.然后讨论了这两种预条件AOR迭代法与经典AOR迭代法的比较定理. 第六部分是小结和前景展望.对本文做了一定的总结并对预条件迭代法的前景进行展望.
【学位授予单位】:扬州大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O241.6

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