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幂等元在环论中的一些应用

魏俊潮  
【摘要】: Exchange环是Warfield教授在1972年介绍的,并证明了一个很深刻的结论:Exchange不上的每个投射模是其循环子模的直和.1977年,加拿大代数学家Nicholson教授系统地研究了Exchange环的性质,给出了Exchange环的一个很经典的刻画,即一个环R是Exchange环当且仅当R摸每个左(或右)理想幂等提升.为了探讨Exchange环的性质,在同一篇文章中,Nicholson教授引进了clean环,并证明clean环是Exchange环,但反过来是否成立还是一个公开问题.这极大地引起了环论工作者的兴趣,从而研究Exchange环成为clean环的条件成为代数环论研究的一个重要组成部分.已知的一个著名的条件是由Nicholson教授于1977年给出的,即R是Abelian环.后来被宇化平教授在1995年推广到更大的环类(左)quasi-duo环上.2007年,陈卫星教授介绍了半Abelian环,通过验证,发现半Abelian环也是一个条件.由于clean环,Exchange环和半Abelian环都是通过幂等元进行刻画的,因此通过幂等元来研究Exchange环成为clean环的条件是本博士论文的最初的动机. 追溯文献,有稳定域1 (stable range 1)的环似乎是由Vaserstein教授于1971年给出的(参见:Vaserstein, L. N. (1971). Stable rank of rings and dimensionality of topological spaces, Funct. Ana. Appl.5:102-110.).宇化平教授在1995年发现Abelian的Exchange环有稳定域1,左quasi-duo的Exchange不也有稳定域1.2007年,陈卫星教授在他的文章中暗示半Abelian的Exchange环有稳定域1.鉴于上述结果,本博士论文自然考虑通过幂等元来研究Exchange环有稳定域1的条件. 在2006年,Kim Jin Yong教授证明了如下重要定理:设R是一个左遗传环包含一个内射的极大左理想(称为左HI-环),若R是左幂等自反环,则R是半单Artinian环.从而否定了Yue Chi Ming教授在1985年提出的问题:如果一个左遗传环R包含一个内射的极大左理想,则R是半单Artinian环吗?作为Abelian环的重要推广,左幂等自反环逐渐引起了环论工作者的兴趣.本博士论文利用左极小幂等元,引进了左MC2环(Nicholson教授和Yousif教授称之为左MC2-条件),推广了左幂等自反环,而且左幂等自反环上的许多著名的结论被推广到左MC2环上. 总之,本博士论文主要利用幂等元(idempotents)定义如下几种新环类:Weakly-abel环,Quasi-normal环,左EQN环,左NQD环;特别地对左极小幂等元进行了详细地研究,利用左极小幂等元介绍了左min-abel环,左MC2环和强左DS环.借助于幂等元的构造技巧研究这些环类的重要性质,给出了它们之间以及它们与其它环类之间的关系,利用它们推广已有的著名结论.主要结果如下: (1)Weakly-abel的Exchange环是clean环.(推广了Nicholson教授的结果:Abelian的Exchange环是clean环和宇化平教授的结果:左quasi-duo的Exchange环是clean环.) (2)Weakly-abel的Exchange环有稳定域1.(推广了宇化平教授的结果:Abelian或左quasi-duo的Exchange环有稳定域1.) (3)左MC2的左HI-环是半单Artinian环.(推广了Kim Jin Yong教授的结果:左幂等自反的左HI-环是半单Artinian环.) (4)R是左quasi-duo环当且仅当R是MELT的左min-abel环. (5)R是Abelian环当且仅当R是Quasi-normal的左幂等自反环. (6)R是强正则环当且仅当R是von Neumann正则的Quasi-normal环. (7)R是强左min-abel环当且仅当R是左MC2的左min-abel环. (8)R是强左DS环当且仅当R是左universally mininjective的左min-abel环.


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