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基于新预条件子作用下向后迭代法的收敛性分析

李凯  
【摘要】: 对自然科学与工程计算中的许多实际问题进行数值模拟时,最终都归结于求解一个或多个大型稀疏矩阵的线性代数方程组,比如油气资源开发、模拟核爆炸、数值天气预报、数值风洞等.求解由椭圆型偏微分方程离散化后得出的大型线性代数方程组,一直是令人关注的课题.人们先后使用了Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、SOR迭代法、JOR迭代法等来处理.这些已有的经典方法给求解大型的线性方程组带来了很大方便,但有些时候经典方法收敛速度太慢甚至不收敛,于是能否找到收敛速度快的迭代方法就成为研究的重要目标. 近几年来,线性方程组求解技术又有快速发展,特别是预条件技术的出现使得求解速度有了更快的提高.当系数矩阵具有某些特殊性质时(如:某类对角占优Z -矩阵、Q-矩阵等),许多学者研究了的各种经典迭代法的预条件方法.预条件技术中最主要的是如何选取一个合适的预条件子.文献[1]-[6]是近年来研究人员在不同性质的系数矩阵和不同的预条件因子作用下得到的一些重要理论. 本文是在这些理论成果的基础上,提出一个新的基于向后迭代法的预条件因子,在该新的预条件子作用下不但证明当系数矩阵A为非奇异的M -矩阵和H -矩阵时的收敛性,而且得到了BIMSOR、BIMGS等的收敛速度明显快于经典的BSOR、BGS迭代法.通过取特殊值的预条件因子,我们证实当经典BSOR、BGS迭代收敛时,预条件块迭代法的收敛速度成倍于经典方法,并将方法应用于实际问题,展示了预条件迭代法的优越性与稳健性. 以下是本文的结构和主要内容: 第一部分是引言.我们将介绍代数方程组和预条件方法产生的背景,以及由BJacobi、BGauss-Seidel、BSOR和BAOR迭代法产生的迭代矩阵. 第二部分是预备知识.主要给出一些重要的记法、定义和引理,如M -矩阵,比较矩阵,矩阵的分裂等. 第三部分是已有相关结论及新预条件因子的提出.这一部分主要介绍前人在预条件方法上所作出的一些工作,从而推出本文所给的新的预条件因子的构造思路. 第四部分是主要结论部分.这一部分我们给出在系数矩阵A具有某些特殊性的前提下BIMSOR、BIMGS等方法的收敛性,给出这些方法的收敛速度要快于经典的BSOR、BGauss-Seidel迭代法收敛速度的理论证明,并且每一部分都用数值算例验证所得的主要结论. 第五部分是小结与前景展望.这部分主要是对文章的主要思想、方法和本文得到的主要结论作出总结,然后对预条件迭代法的前景做出展望.


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