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线性Markov切换系统的随机微分博弈理论及在金融保险中的应用研究

朱怀念  
【摘要】:自1965年Rufus· Isaacs出版了第一部微分博弈专著《Differential Games》以来,无论其理论还是应用研究都得到了很大的发展,今天,微分博弈已被广泛应用于国防军事工程、生产管理、经济生活等领域的各个方面,成为了科学有效的决策工具。本学位论文以工程和经济领域中大量存在的一类动态系统(工程领域称之为Markov切换系统,经济管理学界称之为Markov调制系统,本论文统称为Markov切换系统)为研究对象,在已有Markov切换系统最优控制理论和随机微分博弈理论的基础上,利用动态优化理论中的极大值原理、动态规划原理、Riccati方程法等,系统研究线性Markov切换系统的非合作随机微分博弈理论,并给出其在均值-方差型投资组合选择和保险公司投资-再保险问题中的应用分析。主要的研究结果如下: 一、研究了噪声仅依赖于状态的线性Markov切换系统、目标泛函为正定二次型的随机微分博弈问题,称之为正定型线性Markov切换系统的随机微分博弈。首先,在已有随机线性二次(linear quadratic, LQ)微分博弈理论的基础上,建立了线性Markov切换系统二人零和博弈和非零和博弈模型。然后借助于随机LQ控制中的均方稳定的概念,给出并证明了系统均衡策略存在的充要条件等价于相应的广义矩阵Riccati方程存在解,同时得到了最优控制策略的显式解和最优值函数的表达式。最后在此基础上将所得结果应用于线性Markov切换系统的随机H∞、H2/H∞控制上,并给出了数值仿真算例验证结果的正确性,拓展了已有的随机微分博弈的相关研究成果。 二、研究了噪声同时依赖于状态和控制的线性Markov切换系统、目标泛函为不定二次型的随机微分博弈问题,称之为线性Markov切换系统的不定随机微分博弈。首先,借助于随机不定LQ控制中的相关结果,建立了线性Markov切换系统二人零和及非零和不定随机微分博弈模型,推导证明了随机微分博弈问题适定及均衡策略存在的充要条件等价于相应的矩阵Riccati微分(代数)方程存在解,同时得到了最优控制策略的显式解和最优值函数的表达式。最后给出数值仿真算例验证了所得结果的有效性,同时也为后面章节的研究奠定了基础。 三、基于博弈方法研究了的线性Markov切换系统目标泛函不定的鲁棒控制问题。借助于线性Markov切换系统不定随机微分博弈的结果,将控制策略设计者视为博弈的一方即博弈人P1,将随机性干扰视为博弈的另一方即“自然博弈人”P2,从而将鲁棒控制问题转化为两人博弈问题,即博弈人P1如何在预期到“自然人”P2的各种干扰策略情况下设计自己的策略,既实现与“自然人”的均衡又使自己的目标最优。解决了噪声同时依赖于状态、控制和干扰的线性Markov切换系统的随机H∞、H2/H∞混合控制问题,证明了控制器的存在性,并借助耦合Riccati微分(代数)方程给出了反馈增益明晰的表达式,最后给出数值算例验证了所得结论的有效性。 四、研究了线性Markov切换系统微分博弈理论在金融保险中的应用。运用随机微分博弈的方法讨论了基于Markov调制模型的均值.方差型投资组合选择问题。首先假设资产价格服从带Markov调制的几何布朗运动,建立了带Markov调制的金融市场模型,然后将市场看成“虚拟”的博弈对手,在投资者与市场之间构建了一个二人零和随机微分博弈模型,投资者选择一个投资策略最大化其终止时刻财富期望效用,而市场选择一个概率测度代表的投资“环境”最小化投资者的最大化终止时刻期望财寓效用。最后在投资者具有常数相对风险规避系数效用函数偏好的假设下,通过求解微分博弈问题对应的HJBI方程,得到了投资者的最优投资策略及最优值函数的显式解。 接着,讨论了基于Markov调制模型的保险公司投资-再保险问题。首先假设保险公司的盈余过程是一个带Markov调制的随机过程,金融资产的价格服从带Markov调制的几何布朗运动,建立了带Markov调制的金融市场模型,然后将市场看成“虚拟”的博弈对手,在保险公司与市场自然之间构建了一个二人零和随机微分博弈模型,保险公司选择一个投资-再保险策略最大化其终止时刻财富期望效用,而市场选择一个概率测度代表的经济“环境”最小化保险公司的最大效用。通过使用动态规划的方法求得了问题的最优解,同时通过验证定理给出了问题的HJB解,最后在适当的假设条件下给出了保险公司和市场最优策略的显式解及最优函数值。 本论文的研究得到国家自然科学基金项目—广义随机线性Markov切换系统非合作微分博弈理论及其在金融保险中的应用(71171061)和广东省自然科学基是金—随机Markov切换系统的非合作微分博弈理论及在经济中的应用(S2011010000473)的支持。


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