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自旋致密双星后牛顿哈密顿系统轨道动力学数值研究

钟双英  
【摘要】:由中子星或黑洞构成的旋转致密双星后牛顿哈密顿系统属于高度非线性和不可积的相对论二体问题,不但含有丰富的共振和混沌等动力学现象,而且成为探测引力波的理想天然波源。引力波有h+和h×两种偏振态,由观测者位置与系统质量四极矩关于时间的二阶导数来确定,而引力辐射总能量与该系统质量四极矩对时间的三阶导数的平方成正比,这必然导致引力体的动力学性质会在引力波中得到反映。因此,实际天体的混沌性既可能是对引力波探测的挑战,又可望借助引力波获得观测效应的机遇。本学位论文正是在这样的国际学术氛围下利用流形改正方法和辛算法等可靠数值积分方法并结合快速Lyapunov指标等恰当混沌指标来研究旋转致密双星后牛顿保守哈密顿构型轨道动力学现象及其与引力波的关系。 保守的旋转致密双星后牛顿哈密顿动力学问题含有总能量、总角动量3个分量和2个自旋矢量长度共6个运动积分。传统的Rung-Kutta型算法因存在人工耗散将不能保持这些运动守恒量,从而导致长时间积分的定性结果不可靠。值得庆幸是标度因子流形改正方法可以避免这一问题。为此,我们利用最小二乘法原理分别构造了单标度因子法和双标度因子法等几种流形改正方法。以5阶Rung-Kutta (RK5)方法作为基本的积分工具,研究后牛顿项、旋转与轨道耦合效应1.5PN、2PN的旋转与旋转耦合项以及轨道类型(小偏心率、大偏心率的有序轨道和小偏心率的混沌轨道)对这些流形改正方法和Nacozy方法的数值性能影响。当仅考虑Kepler轨道部分时,所有的流形改正方法都具有相同的校正效果,能量积分精度可达10-16量级。若考虑纯轨道部分至3PN阶时,各种流形改正方法会产生差异明显的校正效果,特别是当进一步考虑旋转耦合效应时,有些方法甚至比未校正的RK5方法差。对于混沌轨道Nacozy方法的表现也不尽人意。数值算例证实了同时稳定总能量和总角动量的双标度因子法具有最佳的校正效果。对于旋转情形若采用一些省时措施则不会增加很多额外的计算时间,从而保证了数值计算效率和Lyapunov意义下的稳定性。我们发现混沌轨道比有序轨道更有利于发挥流形改正方法的效果。然后,利用总能量和总角动量同时校正的双标度因子法与快速Lyapunov指标研究了动力学参数对混沌的影响以及混沌的参数空间和初始条件分类。 应该值得指出旋转致密双星演化既然能够用后牛顿哈密顿系统来表示,自然想到可以借助辛算法来求解。事实上,Lubich等人正是这样做的。然而,他们的算法是非正则的辛方法,因为除坐标与动量外自旋变量是非正则的,不具备全局意义上的保辛结构的几何性质。针对这一问题,伍歆和谢懿于2010年设计了一组正则自旋变量,完善了旋转致密双星哈密顿理论,为全局辛算法的构造提供了理论基础。另一方面,他们构造的半隐Euler嵌入的混合辛积分器(即由牛顿项和旋转项两部分的解析解与半隐Euler法求解纯轨道后牛顿部分所得数值解组合而成)是有问题的,因为半隐Euler嵌入法比隐中点嵌入法的稳定性要差很多,我们的数值实验也证实了这一点。基于这些因素,我们改进了Lubich等人的工作,考虑利用正则自旋变量和二阶隐中点法以对称组合方式构成二阶和四阶混合积分器。具体操作如下:先将哈密顿采用摄动分解方式,即Kepler主要部分和摄动部分,而摄动部分包括纯轨道后牛顿项、旋转与轨道耦合项和旋转与旋转效应项;再给出Kepler部分的解析解,并利用隐中点法获得摄动部分的数值解;然后将解析解和数值解对称组合成辛积分器。数值实验表明采用哈密顿摄动分解形式的二阶混合积分器的精度明显优于隐中点法的,计算效率也相当。我们也发现最优化的四阶混合辛算法在精度要上要明显好于二阶混合辛积分器,但需要增加一点额外的计算时间。我们还探讨了旋转效果和轨道类型对辛方法性能的影响,发现旋转效果虽然大幅降低了辛算法的数值精度,但是各辛算法在长期数值积分过程中均能使能量误差无线性增长,同时,系统的混沌性能促进迭代的快速收敛,提高辛方法的计算效率。最后,利用最优化的四阶混合辛算法与快速Lyapunov指标对相空间全局结构进行扫描。 借助伴随流形改正的RK算法、辛积分器和快速Lyapunov指标对旋转致密双星哈密顿系统的相空间全局结构扫描都一致表明轨道动力学的跃迁与动力学参量、初始条件和初始自旋变量的全面综合有关,无法获得单个参数或初始条件的变化而引起动力学跃迁的普适规律。这确是对伍歆和谢懿2008年工作的有力支持。 除了以上数值研究工作外,我们也力图做一些理论分析工作。正如伍歆和谢懿所说,正则自旋变量的构造不但为辛方法在旋转致密双星哈密顿动力学中的应用提供了理论支撑,而且能直接判定系统的可积性。仅有一体自旋至任意阶的致密双星后牛顿哈密顿保守系统和二体自旋仅限于轨旋耦合作用第一项的致密双星后牛顿哈密顿保守系统是应用正则自旋变量来判定可积的两个成功范例。借助这一思想,我们发现了一个新的可积系统,即二体旋转仅限于轨旋耦合作用前两项的致密双星后牛顿哈密顿保守系统,因为这个10维正则系统含有5个独立的孤立积分。运用辛算法与快速Lyapunov指标对相空间全局结构进行扫描也没有找到混沌,从而支持了该系统可积这一结论。 最后,在不考虑引力辐射耗散的情况下,探究了旋转致密双星的动力学参量、旋转-轨道耦合、旋转-旋转耦合效应及轨道类型对后牛顿近似引力波形的影响。表明有序轨道的引力波随时间呈周期性地变化,而混沌轨道引力波的变化具有混沌性,并且混沌性可增强引力波的辐射能量。尤其指出自旋参量大小对引力波形的变化发挥至关重要的作用。


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