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《上海大学》 2011年
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非线性方程的一些数值解法及其理论分析

王秀花  
【摘要】:非线性问题是现代数学的一个活跃领域,大量的非线性问题,如非线性有限元问题、经济与非线性规划问题以及物理、化学、流体力学中许多关键问题的解决,往往归结为求解Banach空间中某些特定的非线性方程;非线性方程的求解也是科学与工程计算中一个常见且重要的问题.然而除了很特殊的情形外,直接法很难求解非线性方程.对于实际问题,很多情况下不必求出方程的真实解,只需求得一个近似值,当然此近似值与真实解之间的误差应该控制在实际问题所能接受的范围之内;而近似解可以通过数值方法来获得.从而,研究非线性方程的数值解法有着重要的理论意义和实际应用价值. 本文共分为七章: 第一章概述了研究现状以及主要研究内容. 第二章研究了一类带参数的三阶方法,此类方法包含经典的Cauchy方法、Chebyshev方法以及Halley方法,从而,我们称之为Cauchy-Chebyshev-Halley方法,在此基础上,我们提出了一类改进的Cauchy-Chebyshev-Halley方法,与Cauchy方法、Chebyshev方法、Halley方法以及super-Halley方法相比,改进的方法每一步迭代所需函数值和导数值的总个数与后者的相同,但其收敛阶却从3提高到4.从而改进的Cauchy-Chebyshev-Halley方法具有更高的效率指数,数值实例也表明此类方法比Cauchy方法、Chebyshev方法、Halley方法及super-Halley方法有效. 第三章我们在Newton's irrational方法的基础上,通过每一步迭代增加一个函数值,得到了一类多步迭代法.此类方法每一步迭代需要两个函数值,一个一阶导数值和一个二阶导数值,然而其收敛阶却从3提高到5.从而,与Newton's irrational方法相比,这类改进的Newton's irrational方法具有更高的效率指数.数值实例表明此改进的Newton's irrational方法是有效的. 第四章构造了一种加速技巧来改进Newton法,从而得到了一类渐近收敛阶为1+(?)的方法,此类方法的每一步迭代所需函数值和导数值的总个数与Newton法的相同,故其效率指数比Newton法的高.进一步地,我们提出了一类不需导数的求解非线性方程的方法,理论分析表明其渐近收敛阶也可以达到1+(?),值得一提的是,这类方法的每一步迭代只需两个函数值,不需计算任何导数值,从而在导数值的计算量比较大时,此类方法可以大大节省计算量,提高计算效率.数值实例分别显示了这两类方法的优越性. 第五章研究了Banach空间中一类改进的多点super-Halley方法的半局部收敛性,利用递归方法,我们证明了在一定条件下,由这类方法产生的迭代序列收敛到方程的解,并且此解在一定范围内是存在且唯一的;同时得出了解的一个先验误差估计,由此也证明了此类方法的R收敛阶为4.我们将此类中的一种方法用于求解积分方程,数值结果表明该方法是有效的. 第六章我们在Jarratt方法的基础上,通过每步迭代增加一个函数值,得到了一种改进的Jarratt方法,并将此方法推广到Banach空间中,利用递归方法,我们证明了此方法在Banach空间中的半局部收敛性定理,也证明了此方法的R收敛阶为6.数值结果表明了我们所导出的递推关系的合理性。 第七章考虑了非线性方程的一些迭代解法在闪蒸计算中的应用.闪蒸计算是化工工程中汽液平衡计算的基本内容之一,有着重要的应用意义.非线性的Rachford-Rice方程的求解是闪蒸计算中的核心步骤之一.目前,Newton法是求解此方程的常用方法.我们将本文所提出的一些方法应用于求解此方程.通过数值例子,比较了本文的几种方法和一些经典的方法(包括Newton法).数值结果表明,我们所提出的Jarratt方法的六阶变体和收敛阶为1+(?)的加速的Newton法在多数情况下分别优于Jarratt方法和Newton法.在所比较的的方法中,我们提出的收敛阶为1+(?)的加速的Secant方法在数值试验中表现出最高的计算效率,且此方法不需要计算任何导数值;而Rachford-Rice方程的导数值的计算代价高于函数值,所以在我们所考虑的方法中,该方法是求解此方程的最佳方法.
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