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《上海大学》 2004年
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CNN符号动力系统

陈芳跃  
【摘要】:细胞神经网络(Cellular Neural Networks,简称CNN)是由美国Berkeley加州大学的著名学者L.O.Chua教授等于1988年提出的一个非线性模拟电路的数学模型。 CNN结合了Hopfield神经网络模型和Neumann细胞自动机两者的优势,既具有高速并行处理功能,同时又容易在超大规模集成器(VLSD的芯片上实现。因此作为一类新的信息处理系统,CNN具有巨大的应用前景。十多年来,有关CNN的理论、设计及应用研究已成为众多领域科学技术工作者关注的热点。CNN在图象处理、模式辩识、超大规模集成器、机器人及人脑功能模拟等方面获得了广泛应用。以CNN为理论基础的模拟计算机也已诞生。 从数学角度看,CNN是一个非线性动力系统,它的功能和意义已远远超越了神经系统。因此随着研究的深入,CNN现已演变为细胞神经网络和细胞非线性网络(Cellular Nonlinear Networks)两种含义的简写。特别值得注意的是,将CNN中的有限个状态变量推广到无穷多个状态变量后,则得到一个无穷维的格点动力系统,其动力学行为变得非常复杂。近年来,这类CNN系统的研究取得了一些成果,但也遇到相当的困难。目前对一个完整的无穷多个状态变量的CNN系统的动力学性质的研究,几乎还是一片空白。 本文用符号动力系统的观点,对无穷多个状态变量的CNN系统的研究作了一种新的尝试。我们不是直接讨论系统的动力学行为,而是将CNN的输入视为 某个特定符号空间的符号序列,在一定条件下,使得CNN的输出也是同一空间 中的符号序列。因此,输入与输出之间就构成了该空间上的一个自映射,称为 输入一输出映射。置以合适的拓扑,则这个空间及其输入一输出映射就构成了一个 拓扑动力系统,称这个动力系统为CNN符号动力系统。本文的核心问题就是提 出这种符号动力系统,同时研究它的动力学性质。 本文第一章介绍了CNN模型产生的背景及意义,CNN模型的建立及数学定 义,并扼要介绍了CNN研究现状。第二章则为了说明无穷多个状态变量的CNN 系统具有复杂的动力学行为,讨论了CNN系统的定态解,并对一个具体的无输 入的CNN系统,构造了由定态解诱导的一个映射的Smale马蹄,从而说明CNN 系统定态解的空间混沌性。第三章则提出了一种新的符号动力系统,即对二维 k-符号序列空间,定义了合适的度量,并在这个空间上定义了若干种移位映射, 严格证明了这些映射具有复杂丰富的动力学性质,这些内容构成了CNN符号动 力系统的理论基础。第四章则是将前一章中建立的二维符号动力系统的理论作 为工具应用于CNN系统的输入一输出映射,在CNN基因为布尔基因的条件下, 一大类输入一输出映射是二维符号序列空间上的移位映射,它们具有丰富的动力 学性质,如Li一York混沌,Devaney混沌,具有正拓扑嫡和拓扑混合性等等,因 而构成了CNN符号动力系统的实质内容。第五章则是对本文的一个扼要总结, 并同时对CNN符号动力系统的进一步研究作一展望。
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