两类重要非线性模型的动力学行为的研究

【摘要】：本文主要研究两类重要非线性模型的动力学行为：Li(?)nard类型方程和时滞神经网络(DNNs)系统。在简要地介绍这个领域研究的历史背景和发展现状之后，研究的工作主要集中在两个部分：第一部分讨论具有强迫项的Li(?)nard类型方程及其相关的二维非自治系统的定性性质，第二部分研究由连续时滞神经网络模型所组成的高维非自治动力系统的动力学行为，这个系统包含著名的Hopfield神经网络及CNN细胞神经网络。主要工作概括为以下三个方面： 一 Li(?)nard类型方程及其相关的二维非自治系统解的整体性态与周期解。主要工作是：第一，应用构造Liapunov函数以及Lasalle不变性原理，给出了解的有界性与收敛性的一些新的充分条件和充分必要条件，这些结果包含或扩展了已有文献关于同样问题的一些重要结果。第二，基于Mawhin重合度理论中的连续性定理和Brosuk定理，在更为一般的假设条件下得到存在周期解的一系列新的充分条件，这些结果推广与扩展了Omari，Villari和Zanolin等人所获结果。第三，应用非线性泛函方法及指数二分型理论，获得了具有强迫项的Li(?)nard类型方程概周期解存在的条件，这些条件是由Fink等人对于Li(?)nard方程所获条件的自然推广，并且修正了Fink在《SIAM.J.Appl.Math》(1974，26(1)26-34)一文中的计算错误。 二 具有时滞的周期神经网络模型(PDNNs)的动力学行为。在不假定关联函数单调性，可微性和有界性的条件下，给出了PDNNs模型周期解存在和全局指数稳定性的充分条件。这里采用的主要方法仍然是Mawhin的重合度理论和Liapunov泛函的应用，并借助于一些重要的不等式和矩阵代数技术，得到更为一般并且具有很少限制的一些新的充分条件。这些条件可以通过网络参数，联接矩阵和关联函数的Lipschitz常数所表示非奇异M矩阵来刻划。一些例子和模拟表明：这些条件不仅是简单和实用的，而且相对于已有的结果更为广泛和容易验证。 三 Li(?)nard方程和时滞神经网络模型(DNNs)的混沌控制与同步。主要工作是：第一，考虑具有周期外力激励的混沌Li(?)nard方程的鲁棒同步问题，对于一个更为一般的非线性控制系统，给出了处理这类问题的一个实用的理论结果，并将它应用到两个具有周期外力激励的特殊混沌Li(?)nard系统：混沌的Van Der Pol振子及其相应的广义系统。通过非线性反馈控制技术，这些系统的全局混沌同步将达到，数值模拟的结果证明这种控制方法的有效性。第二，应用Lyapunov泛函方法和Hermitian矩阵理论，基于严格的数学分析，对于由多个恒同时滞神经网络模型以线性扩散排列结构的形式所组成的一个高 维网络型动力系统，给出了这一网络型系统全局同步的一个简单而又一般的准则.所获 结二果表明:通过合理的设计和选择网络系统的配对矩阵和内部连接矩阵，将能够确保这 一网络型的系统的全局同步.进一步地，将这一准则应用到一个三维的混沌的CNN细胞 神经网络模型，计算机模拟证实所获理论结果的正确性.