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无穷域问题的谱方法研究

张璟  
【摘要】:喷射成形工艺是一种在冶金行业有重要应用前景的新工艺,而喷射雾化技术是喷射成形工艺中的关键技术,对喷射雾化技术的研究因此具有非常十分重要的意义。但是应当指出的是由于物理现象非常复杂,我们对喷射雾化机理的了解还是非常不够的。由于理论分析和试验研究存在不小的困难,因此使用高精度数值计算方法作为研究手段对喷射雾化技术中的现象进行研究是非常有必要的。谱方法作为一种高精度的数值计算方法在进行喷射雾化机理研究时具有重要的意义。 使用谱方法研究喷射雾化技术中涉及的主要困难在于边界条件的处理,即无穷远边界条件和界面边界条件的处理。本文主要着眼于无穷远边界条件的处理方法。对于此类问题主要的处理方法有三种,即计算区域截断处理、使用取值范围为无界区域的基函数作为谱方法展开的展开基、使用座标变化方法。在本文中,我们提出新的指数变化方法结合座标变化的处理办法,并计算了线性的第二类变型Bessel函数K_n(z)和无穷区域下的非线性的Burgers方程作为应用的范例。 线性的笫二类变型Bessel函数K_n(z)在自变量趋于无穷时是指数变小的,使用多项式逼近的方法求解往往误差很大。在本文中,我们提出新的指数变换结合有理Chebyshev多项式和指数变换结合Chebyshev谱配置法来计算第二类变型Bessel函数,得到了令人满意的在较大范围内有效的解。通过计算发现使用指数变换结合Chebyshev谱配置法求解线性的无穷远问题零阶第二类变型Bessel函数K_0(z)是有效的,但是仍然有继续改进的余地。而使用指数变换结合有理Chebyshev多项式方法能够达到较高的计算精度。 在本文中同时还提出新的指数变换方法结合谱方法在无界域中求解非线性问题——Burgers方程。使用指数变换方法对Burgers方程和边界条件作了处理,然后使用代数变换的方法和对数变换的方法将经过指数变换后的问题的取值范围从无界区域变成有界的,最后使用谱方法求解问题。在实际计算时候我们发现使用代数变换方法的计算精度和收敛速度都不够,更为严重的是在很多不同参数A/μ下计算结果都出现了发散的情况,但是使用指数变换和对数座标变换的组合我们可以得到较小的计算误差。A/μ对计算精度有重要的影响,选择适合的A/μ是整个算法成功的关键。 本文中提出的方法不同于其他方法之处在于考虑到当自变量趋于无穷大的时候,问题的解是指数衰减的,我们引入一个指数变换对问题进行变换,然后使用座标变换和Chebyshev谱配置法来求解变换后的新问题。 应当指出的是虽然在本文中提出并使用指数变换结合谱方法只计算了无穷域下的非线性问题——Burgers方程和线性的第二类变型Bessel函数K_n(z),但是对于其他无穷域下的非线性和线性方程的求解应该也是可以提供求解的思路的。


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