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无界区域中的谱方法

徐承龙  
【摘要】:在科学和工程(例如:海洋工程、大气科学、矿山开采等)研究中,有许多问题的运动规律是用无界区域中的定解问题来描述的。对这类问题的求解,最简单的方法是先取定一个人工边界,然后在人工边界上加上人工边界条件,最后在相应的有界区域中用通常的方法(例如差分方法、有限元方法或者谱方法等数值方法)求解。然而,这种截断的办法必然会带来相应的误差。因此建立无界区域上的高精度算法吸引了众多数学家的关注。 本文正是在这样的背景下提出了无界区域中的谱方法。这种解法是与无界区域中的正交多项式密切相关的。我们的研究由以下几部分组成: 第二章,建立了Hermite多项式插值逼近。作为一个应用的例子,我们讨论了直线上的Burgers方程的数值解。证明了该算法是稳定的和收敛的,并具有谱精度。数值例子验证了该算法的高精度性。 第三章,建立了Laguerre多项式插值逼近。并将它应用到半直线上的BBM方程上去,证明了该算法的稳定性和收敛性。数值例子同样表明了算法的高精度性。 第四章,讨论了流函数形式的Navier-Stokes方程在无穷带状区域中的一类始边值问题。证明了该问题的解是存在唯一的。我们还讨论了解的正则性。这些性质是我们数值求解的理论基础。 Sha宜lghai University Doetoral Dissertation(2000) 第五章,我们给出了Laguerre一Legendre混合谱逼近,在x方 向用Laguerre谱逼近,在y方向用Legendre谱逼近。我们还 建立了流函数形式的Navier一Stokes方程在无穷带状区域中的一 类始边值问题的谱格式,证明了该格式的稳定性和收敛性。数 值例子表明算法是有效的。 第六章中,我们给出了Laguerre一Legendre混合拟谱逼近。 并将它应用到流函数形式的Navier一Stokes方程在无穷带状区域 中的一类始边值间题中。与相应的混合谱方法相比较,混合拟 谱方法在实际计算中更有效,更节省计算时间。因为它避免了 计算无穷区域中积分。当然,其理论分析更困难。 本文的主要方法与技巧对无界区域中的其他偏微分方程同 样适用。


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