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凸体几何极值问题

赵长健  
【摘要】:本文利用几何分析中的凸体几何理论,积分变换方法和解析不等式理论,研究了凸体的等周问题和相关的不等式问题。首先,从以下几个方面作了重点研究:凸体的宽度积分和仿射表面积,凸体几何经典不等式的等价性,投影体和交体的各种极值性质,星体的对偶均值积分的极值问题,混合投影体的极体性质,投影体和交体的对偶均值积分差的极值问题以及混合投影体与混合交体神秘的对偶性质等。其次,重点研究解析不等式,像离散型和连续型Pachpatte不等式,Hilbert积分不等式,H(?)lder积分不等式,Bellman不等式,Minkowski积分不等式等并应用这些分析不等式建立了凸体几何中经典的Minkowski不等式,Brunn-Minkowski不等式和Aleksandrov-Fenchel不等式的极形式和对偶形式。这些内容作为几何分析一个十分活跃的前沿方向,广泛应用于数量经济学,随机几何学,体视学和信息理论等领域。 本文获得的主要结果: (1) 建立了混合投影体的极的Aleksandrov-Fenchel不等式,较完满的解决了美国著名数学家Lutwak自80年代以来,一直关注的一个凸体几何分析问题,实质性地推广了Lutwak关于混合投影体极的一些重要结果。 (2) 2004年,冷岗松教授在美国数学期刊Adv.Math.Appl.上,首次引进了凸体的均值积分差函数:若K,D∈κ~n且D(?)K,则凸体K和D的均值积分差函数定义为: Dw_i(K,D)=W_i(K)-W_i(D),(0≤i≤n-1), 并且建立了凸体的均值积分差的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式。 类似地,我们定义了一个新的相关概念—星体的对偶均值积分和函数:若K,D∈φ~n,则星体K和D的对偶均值积分和函数定义为: S_((?)_i)(K,D)=(?)_i(K)+(?)_i(D),(0≤i≤n-1), 若i=0,则有S_v(K,D)=V(K)+V(D),被称作星体K和D的对偶体积和函数。 进一步,建立了混合交体的“对偶均值积分和”的Minkowski不等式。它正是混合交体的Minkowski不等式经典形式的推广。另外,还获得了混合交体的Brunn-Minkowski不等式的加强形式。 (3) 引进了凸体“均值积分差函数”的对偶概念—凸体和星体的“对偶均值积分差函数”:令K和D分别为R~n中的凸体与星体。若D(?)K,我们定义凸体K与星体D的对偶均值积分函数: D(?)_i(K,D)=W_i(K)-(?)_i(D),0≤i≤n-1。 从而,建立了凸体和星体的“对偶均值积分差”的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式。作为方法的应用,获得了投影体和交体的“对偶均值积分差”的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式。


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