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分数阶微分方程的理论分析与数值计算

邓伟华  
【摘要】: 分数阶微积分已有很长的历史,早在1695年,Leibnitz给L'Hospital的一封信中就提到了分数阶微分的概念,Leibnitz写到:“这会导致悖论,不过总有一天会得到有用的结果.”早期对分数阶微积分有贡献的数学家包括Liouville、Riemann、Holmgrem.在近三个世纪里,对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行,似乎它只对数学家们有用.然而在近几十年里,许多学者指出分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程,在经典模型中这些性质常常是被忽略的.如今,分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统辨识、控制和机器人及其他应用领域中的问题. 该论文共有五章,主体可分为三部分,其中第一部分由第二和第三章组成,是对分数阶常微分方程做理论分析,第四章为论文的第二部分,研究对一般分数阶常微分方程及分数阶的Fokker-Planck方程(它是一种典型的分数阶偏微分方程)的数值计算,最后一章为分数阶微分方程的应用,即实现分数阶系统的广义同步与多卷波生成. 更具体的说,第一章简要地回顾分数阶微积分的几种定义并分析和比较它们的一些性质. 第二章通过应用Laplace变换的技术,我们得到了多时滞线性分数阶常微分方程的特征方程,进而给出了多时滞线性分数阶常微分方程的一般性的稳定性判据,并将这些结果应用于同步,同时分析了分数阶常微分方程解的可微性,最后给出了非线性分数阶常微分方程解的Mittag-Leffler表示. 第三章讨论了将多阶分数阶常微分方程转化为同阶分数阶常微分方程的可能性,并给出了多阶分数阶常微分方程的稳定性结果. 在第四章中,首先改进了数值求解分数阶常微分方程的预估校正法,然后从一个新的观点去理解分数阶微积分的短记忆原理,将预估校正法的思想与短记忆原理结合起来对分数阶常微分方程进行数值求解,并给出了详细的误差分析.同时利用Riemann-Liouville和Caputo导数的性质,将分数阶Fokker-Planck方程转化为抛物型分数阶偏微分方程,结合预估较正法和行方法的思想对时间分数阶Fokker-Planck方程和时间空间分数阶Fokker-Planck方程进行数值求解,这部分内容是本文的核心内容. 第五章可以看作是第四章的数值算法在工程上的进一步运用,我们数值模拟了分数阶微分系统的动力学行为,其中包括广义混沌同步及多卷波吸引子的生成.


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