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凸体的Brunn-Minkowski理论

袁俊  
【摘要】: 本文隶属于Brunn-Minkowski理论领域,该领域是近几十年来在国际上发展非常迅速而重要的一个几何学分支.本学位论文利用几何分析中的凸体理论,积分变换方法和解析不等式理论,研究了凸体和星体的等周问题和相关的不等式问题. 本文的研究工作主要分为三个方面: 在经典Brunn-Minkowski理论中,我们推广了矩阵形式的Brunn-Minkowski不等式.作为应用,我们推广了Alexander度量加不等式. 在对偶Brunn-Minkowski理论中,我们引入了对偶调和均质积分概念,系统的研究了它的性质,并建立对偶调和均质积分的Brunn-Minkowski不等式,Blaschke-Santalo型不等式和Bieberbach不等式;接着我们建立了对偶仿射均质积分的对偶Brunn-Minkowski不等式,最近我们得知这个不等式被Gardner用另外的方式证明;凸体的极体是凸几何中一个重要概念,既然相交体和投影体有对偶关系,因此在研究完投影体的极体之后自然要研究相交体的极体.但相交体不一定凸,所以关于相交体的极体的性质和经典不等式的讨论与研究几乎是一片空白.采用Moszynska引入的星对偶的概念,我们在第五章中研究相交体的星对偶体,从而更进一步地揭示了投影体和相交体两者之间的对偶关系;引入了对偶混合体的概念.作为应用,我们给出了对偶Brunn-Minkowski不等式的加强版本.这些结果都加强了经典Brunn-Minkowski理论与对偶Brunn-Minkowski理论的对偶性. 在L_p-Brunn-Minkowski理论中,我们首先给出了两个关于新椭球的极值性质;然后研究了L_p仿射表面积,将Petty仿射投影不等式和Winterniz单调性问题推广到L_p仿射表面积;建立了L_p质心体和其极体的Brunn-Minkowski型不等式;研究了凸体的最小L_p平均宽度,给出凸体K具有最小L_p平均宽度的充分必要条件,最后给出了凸体L_p平均宽度位置的稳定性.


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