线性矩阵方程组的各种对称解

【摘要】： 本文研究了正则环、四元数代数和复数域上的某些线性矩阵方程组的一般解,各种对称解以及最小二乘解等.这些结果进一步丰富和发展了矩阵代数理论. 全文共分为四章,第一章主要介绍了四元数代数和矩阵方程的研究背景、研究进展及本文所做的工作.另外介绍本文用到的一些基础知识,例如,正则环和四元数代数的基本理论、几种对称矩阵和分块矩阵的广义逆.第二章我们利用矩阵技巧和第一章所给的基础知识研究正则环上矩阵方程组A_1X_1=C_1,A_2X_1=C_2,A_3X_2=C_3,A_4X_2=C_4,A_5X_1B_5+A_6X_2B_6=C_5和两类四元数矩阵方程组XB_1 = C_1,XB_2 = C_2,A_3XB_3 = C_3与A_1X = C_1,XB_1 = C_2,A_2X = C_3,XB_2 = C_4,A_3XB_3 = C_5,A_4XB_4 = C_6.我们给出了这些矩阵方程组有解的若干充要条件和一般解的表达式.这些矩阵方程组除了在理论上有重要的意义外,还有重要的应用价值.第三章,通过前两章已建立的理论,我们分别考虑正则环上矩阵方程组A_aX = C_a,A_bX = C_b,A_cXB_c = C_c的(斜)中心对称解,四元数代数上矩阵方程组XB_a= C_a,A_bXB_b = C_b的(反)反射解,A_aX = C_a, A_bXB_b = C_B的P-对称解,以及三类矩阵方程组A_aX = C_a, A_bX = C_b, A_cXB_c = C_c、A_aX = C_a, XB_b = C_b, A_cXB_c = C_c与XB_a = C_a, XB_b = C_b, A_cXB_c = C_c的对称解、广自共轭解和中心对称解.我们分别给出这几类矩阵方程组有上述各种对称解的若干充要条件以及这些解对应的具体表达式.第四章,我们研究复数域上矩阵方程组AX=B,XC=D的(R,S)-共轭解、最佳逼近问题和最小二乘问题;我们还考虑了HermitianR-共轭矩阵的Procrustes问题.