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Banach空间中的一些凸性和光滑性及其应用

张子厚  
【摘要】: 本文主要研究Banach空间中一些凸性和光滑性的性质及其应用.主要研究了下面五个问题: 在第二章里,我们利用Banach空间中九十年代引进的四种凸性,强凸性,近强凸性,很凸性和近很凸性,给出了四个度量投影的连续性定理,推广了已有的一些度量投影的连续性定理.在弱中点局部凸性和上述四种凸性的条件下,我研究了近迫集、逼近紧性和度量投影连续性的关系.对于Banach空间X的对偶空间X~*上的一类超平面{x~*∈X~*:x~*(x)=α},我们给出了其上度量投影的一个表达式,并讨论了这种特殊度量投影的连续性. 在第三章里,我们研究了Banach空间上的一些光滑性和其对偶空间上弱*渐近赋范性质之间的关系.证明了在弱序列完备的条件下,Banach空间X的范数Frechet可微,拟Frechet可微,很光滑和拟很光滑分别等价于X的对偶空间X~*有B(X)-ANP-I,B(X)-ANP-II,B(X)-ANP-II'和B(X)-ANP-III.我们也引入了一种新的局部渐近赋范性质,讨论了它和其它局部渐近赋范性质的关系,讨论了这种新的局部赋范性质蕴含的一些拓扑和几何性质. 在第四章里,Banach空间凸性和光滑性对偶关系的研究一直是Banach空间几何理论研究的一个重要问题.本文将对一些非自反Banach空间凸性和光滑性的对偶关系加以研究.本文引入了一些“凸点”和“光滑点”的点态概念.由此我们对一些非自反Banach空间的凸性和光滑性的对偶关系用充分必要条件形式加以刻画.这种刻画不仅给出这些凸性和光滑性的特征,而且彻底搞清了这些凸性和光滑性的对偶关系,推广了以前的相应结论.由本文证明的对偶定理,也说明了强凸和很凸性是分别等价于近年来由Bandyopadhyay,Huang,Lin和Troyanski引进的几乎局部一致凸(ALUR)和弱几乎局部一致凸(WALUR). 在第五章里,β-范空间是赋范线性空间的一种推广,它在次可加泛函里有重要应用,由于β-范空间是一种准范空间,以往对β-范空间的研究很少.本文中我们在β-范空间中研究了等距扩张问题(即Tingley问题).证明了四个在β-范空间的四个一般结论,推广了以前的相应结论. 在第六章里,Asplund空间是一类重要的Banach空间,它有许多重要性质.我们已经知道,如果X自反或X很光滑或X的对偶空间X~*有(**)性质,则X是Asplund空间.本文我们将给出一个反例,证明存在一个非自反,不是很光滑且其对偶空间X~*没有(**)性质的Banach空间X,但X是一个Asplund空间.从而说明了X自反或X很光滑或X~*有(**)性质只能是X是Asplund空间的充分条件.


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