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基于随机图演化与图上随机游动的复杂网络研究

郑中团  
【摘要】: 复杂网络近年来受到来自科学与工程各个领域研究者广泛关注,成为近年来研究的一个热点.由于现实社会中大规模网络的存在,促使人们去研究这些网络的拓扑结构及其动力学行为.本论文结合数值模拟,利用Hoe?ding-Azuma鞅不等式,生成函数,可逆Markov链,次序统计量等随机理论与方法研究复杂网络演化模型和复杂网络上随机游动,研究内容大致为:基于随机图演化对复杂网络演化模型作概率分析,包括择优机制在混合演化中的主导性,演化过程的统计特征;基于图上随机游动对复杂网络作广泛探讨,包括平均首达时的表达式,网络拓扑结构与随机游动行为的关系等.这些问题的研究有助于加深理解网络结构和网络上的动力学行为及其之间的关系,有望为优化改善网络设计、搜索及交通提供一些理论参考依据.主要工作如下: 1.提出一类混合演化的随机图模型.现实网络的演化并不是遵循单一机制,为了解择优连接机制与其他机制在网络演化中的影响与地位,构建一类随机图动态演化模型,该模型增长过程中混合了依顶点度择优及均匀选择顶点两种连边方式.利用组合概率技术证明了该混合模型的度分布遵从幂律,表明混合演化中择优连接方式对度分布尾部的影响居于主导地位,数值模拟得到了更一般的结论. 2.建立一类简单的随机图演化模型.考虑到复杂网络的时间演化性质,研究一类简单的随机图演化模型,利用递推式和生成函数对演化中节点数边数的概率分布和期望以及网络的稀疏程度作探讨,给出了相应的表达式,以此理解网络演化过程的统计特征. 3.利用赋权图上随机游动研究复杂网络上的偏好随机游动.推导得到网络上偏好随机游动的平均首达时的两个表达式,引入刻画网络拓扑结构特征的一个概念–节点的中心积度,表明偏好随机游动的平均首达时主要决定于目标节点的中心积度,并与简单随机游动比较研究;发现作为搜索策略,此两种随机游动搜索步数的尺度特征相似,而与最大度搜索策略迥然相异.在理论分析的基础上,结合数值模拟探讨简单的ER随机网络、NW小世界网络及BA网络的不同拓扑结构对随机游动的影响,发现可用随机游动揭示网络的同配性,度分布的异质性及网络的可搜索性等. 4.复杂网络上多个质点同时从同一源点出发到达同一目标点的随机游动的理论与应用问题的研究.主要研究多重偏好随机游动的首达质点与末达质点的首达时,并与多重简单随机游动比较分析.利用转移矩阵和次序统计量推导得到首达质点与末达质点的首达时的概率分布、联合分布及矩的表达式.证明了首达质点平均首达时的收敛性,发现只要质点的数目适当,首达质点将以很大的概率沿着最短路径或接近最短路径从源点到达目标点.发现末达质点首达时与覆盖时密切相关.在此基础上作数值模拟与深入讨论,基于不同的网络,从不同方面去观察分析多重随机游动的首达性质,并探讨这些问题的现实意义,比如P2P网络通信,Ad hoc网络的路由选择,无标度网络的不对称现象等.


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