复变量无网格流形方法研究

【摘要】： 无网格方法是近年来发展起来的一种新兴的数值方法,因其不需要网格,只需要节点信息,具有前处理简单、计算精度高等特点,已成为目前科学和工程计算方法的研究热点之一。 无网格流形方法是在无网格方法中引入数值流形方法的思想而形成的无网格方法。本文针对目前无网格流形方法计算量大等问题,提出了复变量无网格流形方法,然后将其应用于弹性力学、瞬态热传导、断裂力学和弹性动力学等问题。在复变量理论的基础上,采用一维基函数建立二维问题的试函数,结合弹性力学的数值流形方法,提出了弹性力学的复变量数值流形方法,推导了相应的计算公式。 针对无网格流形方法配点过多、计算速度慢、容易形成病态方程组等缺点,本文将复变量移动最小二乘法与无网格流形方法相结合,提出了弹性力学的复变量无网格流形方法,推导了相应的计算公式。 利用裂纹尖端解析解将复变量移动最小二乘法的基函数进行扩展,推导了相应的逼近函数。从最小势能原理出发建立了断裂力学的复变量无网格流形方法,推导了相应的复变量无网格流形方法的求解方程,并与传统的无网格流形方法进行了比较。 采用复变量无网格流形方法构造场点温度逼近函数,对时间域采用传统的两点差分法离散,空间域的离散采用复变量移动最小二乘法,将罚函数法引入本质边界条件,结合瞬态热传导问题的Galerkin积分弱形式,提出了瞬态热传导问题的复变量无网格流形方法。 对时间域采用Newmark积分方法,空间域的离散采用复变量移动最小二乘法,将复变量无网格流形方法应用于求解弹性动力学问题,提出了弹性动力学的复变量无网格流形方法。 对上述提出的数值方法,本文编制了MATLAB计算程序,并进行了数值算例分析,说明了本文方法的正确性和有效性。