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求解BVMs离散线性系统的块二对角预处理算子

侯嘉逊  
【摘要】: 现今,微分方程在各学科和工程领域有着广泛的应用。Boundary ValueMethods(BVMs)作为一种无条件稳定的常微分方程离散方法也得到了广泛应用,而且引起了许多学者的关注。因为由BVMs离散的常微分方程线性系统通常是非对称的,大型而且稀疏的,如果使用直接法来求解将耗费大量资源,所以迫切需要寻找快速求解的方法。前些年,circulant类预处理技术被提出来用于求解这类线性系统,而且也取得了良好的效果。这类预处理技术的一大特点是使用了快速傅立叶变换(FFT)技术,该技术能够有效提高计算效率,缩减计算时间。本文在国内外关于这类线性系统预处理方法研究状况的基础上,从另一角度考虑新的构造方法,提出了一类块二对角预处理算子。该算子在不使用FFT技术的前提下,也能有效提高计算的效率,本文将围绕其构造以及性质进行相关讨论。 首先,分别从基于Crank-Nicolson方程、最小条件数和最小二乘法这三个方面提出这类块二对角预处理算子的三种构造方法。针对每一类型,探讨了它们关于收敛性的问题以及给出了一些相应的定理证明。 其次,对它们进行了GMRES迭代计算量的分析,得出这类块二对角预处理技术在不使用FFT技术条件下,也能降低迭代的计算量的结论。在与传统的circulant预处理技术需要O(mnlogn)的计算量相比较时,其所需计算量仅为O(mn)。 最后,对这三种构造方法得到的预处理算子进行数值实验,并将它们与T.Chan、Strang-Type和P-circulant这几类较典型的cireulant预处理算子作比较,验证了新预处理算子的可行性和有效性。 理论分析和数值结果表明,本文提出的块二对角预处理算子对BVMs离散的微分方程线性系统有较好的预处理作用。结合GMRES方法,能有效加速方程求解的过程,并在一定条件下使得加速效果更加明显,是计算上行之有效的预处理技术。


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