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求解不适定问题的正则化方法

李宏伟  
【摘要】:自20世纪60年代以来,在地球物理、生命科学、材料科学、模式识别、信号(图象)处理、工业控制乃至经济决策等众多的科学技术领域中都提出了数学物理反问题。反问题是现在数学物理研究中的一个热点问题。数学物理反问题的求解面临的一个本质性的困难是不适定性,主要是近似解的不稳定性,即方程的解(如果存在)不连续依赖于右端的数据,当右端的数据有误差时,其解与精确解之间会产生很大的误差。求解不适定问题的普遍方法是正则化方法,如何建立有效的正则化方法及算法是不适定问题研究的重要内容。 本文从一些实例出发,介绍了不适定问题和反问题的基本概念、不适定问题正则化的一般理论。在求解不适定问题的方法中,正则化方法是一个非常行之有效的方法,其中包括著名的Tikhonov正则化方法和Landweber迭代法。由紧算子奇异值分解理论,可以得到病态方程的不适定性,其体现在奇异值趋于零。由此通过引入正则化滤子函数来减弱或滤掉奇异值趋于零的性质对解的稳定性的影响,借此来构造正则算子,从而提供了建立正则化方法的理论依据。从这个理念出发,文中给出了一个新的正则化滤子函数,进而建立一种新的正则化方法,并讨论了正则解的误差估计和正则参数的选取问题,以及当算子和右端皆有扰动的情况下,解决了不适定问题的真解与近似解的误差估计。


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