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再生核Hilbert空间中的采样定理

王旭  
【摘要】: 采样理论是计算数学中的一个基本问题,同时又是一个经典的数学问题,如今它已被广泛应用于通信理论、图像处理、地质勘探、测量等领域。采样理论的研究与应用在工程技术中具有特别重要的意义与广泛的实用价值。本文主要对再生核Hilbert空间中的采样问题进行研究。 首先,本文应用再生核函数空间理论的特殊技巧,针对再生核Hilbert空间中常用的Riesz基,研究再生核Hilbert空间中有关Riesz基的几个等价性条件并给出证明。当再生核Hilbert空间中的Riesz基是由再生核函数生成时,给出相应的再生核Hilbert空间中的采样定理。 其次,针对实际应用中的平移不变再生核Hilbert空间,利用其再生核函数的平移不变性建立采样公式。本文借助函数的傅立叶变换求出该空间的权函数,在此基础上得出再生核空间的再生核函数,由此得到平移不变再生核Hilbert空间中的采样定理,并给出其收敛性和误差估计。 最后,在由线性变换基本定理建立的再生核Hilbert空间中,利用这类再生核Hilbert空间中再生核函数的性质,得到更一般的采样定理,并证明其收敛性和误差估计。所得的采样公式是由其再生核函数和函数在采样点处的函数值建立的,简化了该空间的数值计算,并为再生核Hilbert空间中的数值逼近问题提供了理论依据。 本文着重利用不同的再生核Hilbert空间中再生核函数的特殊性质,在相应的再生核Hilbert空间中分别讨论了函数的采样问题。这为解决一般的再生核Hilbert空间中的采样问题提供了理论基础。


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