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自然单元法的发展及其应用

卢波  
【摘要】: 自然单元法是一种新兴的求解偏微分方程的数值方法,其形函数兼有无网格的特性和传统有限元的优点,很适合岩土工程问题的数值计算。本文对自然单元法及其应用进行了详细研究。 本文首先详细介绍了无网格法的发展历史、研究现状及动态,并对无网格法的优点和存在的问题进行了相应的评述。然后详细介绍了自然单元法的研究现状、自然单元法形函数的构造方法、形函数的性质和优势、求解格式。 对无网格法、有限单元法及自然单元法进行了比较研究。分析表明,上述各种方法的形函数均构成了单位分解,各种方法的逼近函数空间的构造在理论上得到统一。另外,用弱形式求解控制微分方程时,单位分解积分为各种数值方法对弱形式的全域积分提供了统一的积分格式。 第三章详细研究了自然单元法的数值积分方案。先后提出了单位分解积分方法和基于Delaunay三角形平均应变的点积分方案。研究表明单位分解积分方法有着较高的数值精度和收敛性,但其计算量较大。综合考虑数值精度和计算效率,基于DT平均应变的点积分方案是个理想的选择,考虑到自适应分析尤其如此。 第四章实现了自然单元法的自适应分析求解。针对自然单元法的特点,提出了基于MLS拟合和NNI插值的应力恢复方案;在应力恢复的基础上采用Z-Z误差估计方法对求解误差进行了有效的估计;然后根据误差分布信息自动加密节点进行Delaunay结构的局部调整,从而实现了自适应分析。 第五章讨论了自然单元法中强、弱不连续性的表达,基于单位分解的思想在理论上对自然单元法进行了拓展;并分别以裂纹问题和非均质材料问题为例进行了数值验证。 第六章介绍了基于局部Petrov-Galerkin方法和配点法混合求解的WSF格式,该方法结合了局部弱形式和强形式各自的优点,将其应用于自然单元法并实现了三维分析。 第七章介绍了如何将Goodman单元引入自然单元法以模拟岩体不连续面。应用分形几何的观点对节理岩体的尺寸效应问题进行了研究,提出了结构表征单元体(SREV)的概念。实现了节理岩体综合力学参数的数值估算并确定REV,对“SREV是REV取值的下限”这个推断进行了初步的数值验证。 第八章讨论了自然单元法对无限域或半无限域问题的模拟。由于自然单元法形函数在边界上满足线性插值,因而可以和传统的有限元、无界元实现无缝耦合,这增强了自然单元法解决实际问题的能力。


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