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《中国科学院大学(中国科学院武汉物理与数学研究所)》 2017年
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分数阶微分方程理论及其在生化反应中的应用

张文彪  
【摘要】:经典的扩散理论广泛应用自然科学的诸多领域,例如物理、生物、化学等,取得了很大的成就。然而,各种分形、多孔介质等复杂系统上的扩散表明经典的扩散理论不再适用。实验表明,此类扩散往往呈现反常扩散的特征。研究人员发现分数阶微分方程是刻画反常扩散的有效工具。由于分数阶微分算子的非局部性,其数值方法和分析研究(例如解的适定性、正则性等问题)仍处在初步阶段。本文主要研究次扩散条件下的双分子反应、分形中的次扩散方程的数值方法和初步探索分数阶微分方程解的适定性问题,具体如下:第一章,介绍了次扩散和分数阶微积分相关的研究背景和研究内容。第二章,简要介绍了分数阶微积分的基本定义和性质以及相关的特殊函数如Mittag-Leffler 函数和 Fox H 函数。第三章,研究次扩散条件下的双分子可逆反应A+B(?)C。利用CTRWs给出了反应次扩散过程的微观描述,基于CTRWs模型,建立了反应次扩散过程的分数阶微分方程宏观描述。最后,分析了粒子的统计性质和稳态解曲线,得到一类与时间成正比的分数阶矩。第四章,研究了一类分形介质中的分数阶次扩散方程的第一初边值问题。通过分数阶奇异Sturm-Liouville问题给出了其级数形式解,此外,我们建立了分形介质中的次扩散方程隐式数值格式,证明了其稳定性、收敛性。最后,我们定义了关于谱维数ds和次扩散指标dω的鲁棒性指标,通过数值分析,发现谱维数ds对最大绝对误差影响相比较而言更大。第五章第一部分,我们研究如下抽象非线性微分方程0CDtαu(t)= A(t,u)u(t)+ f(t,u(t),Bu(t)),0α1,0tT.的局部和非局部Cauchy问题。运用不动点理论,分别给出了方程经典解和适度解存在的条件,并证明了解对初值的连续依赖性。第五章第二部分,我们研究带有空间Riesz导数的n维分数阶对流扩散方程利用Rothe方法(即所谓的半差方法),我们证明了上述方程弱解的存在性。
【学位授予单位】:中国科学院大学(中国科学院武汉物理与数学研究所)
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O175

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