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变分迭代方法及Lagrange坐标系下的间断有限元方法研究

赵国忠  
【摘要】:数值求解偏微分方程(组)已经成为研究自然科学、工程技术以及经济管理等领域各种实际问题的重要工具.对偏微分方程(组)的近似解析方法或数值解法的研究具有重要的理论和实际应用价值. 变分迭代方法是构造偏微分方程近似解析解的有效方法之一.它是基于La-grange乘子的一种近似解析方法.通过引入限制变分的定义,可以方便识别迭代公式中的Lagrange乘子.其优点在于求解过程中不依赖于小参数、计算简便、利用该方法得到的近似解可以继续进行解析运算等. 间断Galerkin有限元方法在保持通常有限元方法特点的同时还具有局部守恒、适用于解有间断的问题、形式上高阶精度、容易实现并行化和自适应等特点.该方法被广泛应用于计算流体力学中.局部间断Galerkin有限元方法是Runge-Kutta间断Galerkin有限元方法的推广.它既具有间断Galerkin有限元方法的特点,也具有自己独特的一些优势.局部间断Galerkin有限元方法可以用于求解一些高阶偏微分方程在求解过程中不但可以得到方程的数值解,还可以得到引入中间变量(通常为解的导数)的数值解. 本文工作由三部分内容构成:第一部分内容是首次将变分迭代方法用于讨论广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程组和耦合MKdV方程组近似解析解,得到了一些有意义的结果;第二部分内容是构造了一维和二维Burgers方程及Burgers方程组基于Hopf-Cole变换的局部间断Galerkin有限元方法;第三部分内容是研究了Lagrange坐标系下一维和二维气动方程组的间断Galerkin有限元方法,并通过数值算例验证所构造算法的效率和可靠性. 全文安排如下: 第一章介绍了本文的选题背景及变分迭代方法和间断有限元方法的发展历史及应用情况,并对Lagrange方法的进展做了介绍. 第二章讨论了变分迭代方法在广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程组和耦合MKdV方程组中的应用.得到了上述方程组的近似解析解,并通过数值算例将得到的结果与精确解进行了比较. 第三章讨论了基于Hopf-Cole变换的局部间断Galerkin有限元方法在Burgers方程及方程组中的应用.一维Burgers方程在Hopf-Cole变换下可以转化为线性扩散方程.对于一类满足势条件的二维Burgers方程组可以通过二维Hopf-Cole变换将其转化为二维扩散方程.而一类二维Burgers方程可以写成与之等价的满足势条件方程组的形式.通过对转化后的扩散方程利用局部间断Galerkin方法可以得到扩散方程的数值解及导函数的数值解,进而可以通过Hopf-Cole变换得到Burgers方程及方程组的数值解.利用局部间断Galerkin方法可以同时计算出未知函数及所引进辅助变量的数值解.不需要通过重构来得到Hopf-Cole变换中需要的未知函数的导数.而且利用局部间断Galerkin方法计算所得的原始变量和中间变量可以达到相同的精度,这样就避免引入额外的误差. 第四章讨论了Lagrange坐标系下可压缩流气动方程组的间断Galerkin有限元方法.我们从Lagrange坐标系下气动方程组微分形式的守恒律出发,将在Euler坐标系下取得较好数值模拟结果的Runge-Kutta间断Galerkin有限元方法推广到Lagrange坐标系下.一些单介质和多介质流的数值算例检验了该算法的实用性和效率.该方法将几何守恒律和物理守恒律统一求解,在计算过程中不需要网格节点的速度信息,也不需要引入交错网格.是一种计算简便,易于实现的数值方法.该方法综合了Lagrange方法和间断有限元的优点,其优点表现在数值算法的高阶精度及对接触间断较好的数值模拟.


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