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《中国工程物理研究院》 2012年
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主动标量方程及其相关系统的数学研究

薛留堂  
【摘要】:由湍流输运的主动标量场出现在大气海洋物理,燃烧理论和天体物理等的各种自然现象与工程问题中,是流体动力学研究的重要内容.这里,所谓的“主动标量”是指在输运过程中能够以某种方式影响到速度场的标量场. 主动标量方程在本性上是非线性的,从而导致对其的研究在很多情形下是很困难的.本论文就是致力于从数学的角度对主动标量方程及其相关的系统加以研究. 经典的主动标量方程的例子是涡量形式的二维不可压Euler方程,Burgers方程和二维准地转方程;这里,二维准地转方程是来源于高速旋转流体的地转研究的重要的物理模型,与三维不可压Euler/Navier-Stokes系统具有形式上的可类比之处.到目前为止,从数学适定性研究的角度上,二维不可压Euler方程,Burgers方程及次临界与临界二维准地转方程的研究是比较透彻的,而对于超临界二维准地转方程,解整体适定或者在有限时刻爆破仍然是很大的公开问题.需要指出的是,对于临界二维准地转方程,整体正则性问题也只是在近年才得以解决,并且现有的四种证法都是很精微的;其中,Kiselev-Nazarov-Volberg开发的原创性方法“非局部极值原理方法”是很引入注目的方法. 本论文主要关注的模型包括一大类推广的二维准地转方程及带有色散项的超临界二维准地转方程,还有一类来源于位错理论的非局部与非线性的二维系统,它是由两个主动标量构成的耦合系统;此外,这里也研究一些包含主动标量场的二维耦合系统.我们分别陈述主要结果如下. 在第三章中,我们考虑一大类推广的二维准地转方程,这种方程具有与临界、超临界二维准地转方程相同的耗散项,而速度场是更一般的准地转类型的向量场.通过利用非局部极值原理方法,我们证明了对数型超临界二维准地转方程的光滑解的整体适定性,还对于具有奇异速度场的情形证明了整体弱解的最终正则性.这里的一个重要创新点是,相应于所考虑的准地转类型的方程,得到了应用非局部极值原理方法的改进性的准则;正是基于此,使得我们能够在很大程度上改进前人的工作. 在第四章中,我们考虑一类来源于位错理论的非局部且非线性的二维系统.这个系统有两个彼此紧密联系的物理量:塑性形变和位错密度,其中位错密度是正值的.我们从一种新的角度来考察局部适定性问题,不是仅考虑由塑性形变满足的系统,而是先考虑由位错密度所满足的系统,得到光滑解的局部适定性,进而通过研究解的进一步的性质,再得到塑性形变在经典意义下满足其相应的系统.然后,对于具有临界与次临界分数次耗散的系统,我们通过巧妙地利用非局部极值原理方法得到光滑解的整体适定性. 在第五章中,我们考虑带有色散项的超临界二维准地转方程,主要考察具有大波幅系数的情形.通过深入分析,我们得到相应线性方程解的基本的色散估计,进而得到重要的Strichartz-型估计;基于此,我们证明了当波幅系数足够大时方程强解的整体适定性,还证明了当波幅系数趋于无穷时方程弱解在强拓扑下的收敛性结果. 在第六章中,我们考虑一些包含主动标量场的二维耦合系统.通过深入开发耦合系统的内在结构,我们得到了推广的二维Boussinesq系统一些有意思情形的强解的整体适定性,还得到了二维微极流体方程组强解的整体性结果和当微旋转粘性系数趋于0时的收敛性结果.
【学位授予单位】:中国工程物理研究院
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O241.8;O357.5

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