Camassa-Holm方程和Ginzburg-Landau方程的整体解及其性质--《中国工程物理研究院北京研究生部》2003年博士论文

《中国工程物理研究院北京研究生部》 2003年

Camassa-Holm方程和Ginzburg-Landau方程的整体解及其性质

【摘要】： 本文研究了Camassa—Holm方程和Ginzburg—Landau方程初边值问题整体解的存在性及其性质。全文共分三个部分。第一部分：考虑了Camassa—Holm方程在半无界和有界区域上的初边值问题，用Kato关于拟线性演化方程的初值问题的理论及先验估计的方法，证明了整体解的存在性，及在一定条件下，解在有限时间内的Blow—up。同时还研究了一类广义Camassa—Holm方程初值问题整体解的存在性。第二部分：在非线性控制边界条件之下，对于带耗散项的Camassa—Holm方程的初边值问题，用压缩映射不动点原理及先验估计方法，证明了整体光滑解的存在性、整体解的指数稳定性、H~2空间中整体吸引子的存在性以及时间周期解和殆时间周期解的存在性。第三部分：在一维情形，我们考虑了一类带导数项的Ginzburg—Landau方程，通过构造一些类似于发展方程守恒律的泛函及巧妙的积分估计，证明了当粘性系数趋于零时，Ginzburg—Landau方程的解逼近相应的带导数项的Schr(?)dinger方程的解，并给出了最优收敛速度估计；在二维情形，我们证明了一类带导数项的广义Ginzburg—Landau方程整体光滑解的存在性，以及在某种特殊情形下，GL方程的解趋近于相应的带导数项的Schr(?)dinger方程的弱解；在一般情形下，我们讨论了一类Ginzburg—Landau方程的非齐次边值问题，通过几个积分恒等式，同时估计解的H~1模及法向导数在边界上的模，证明了整体弱解的存在性。

【关键词】：Camassa-Holm方程 Ginzburg-Landau方程 初边值问题 非齐次边值问题 整体解 指数稳定性 整体吸引子 粘性极限
【学位授予单位】：中国工程物理研究院北京研究生部
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2003
【分类号】：O175.8
【DOI】：CNKI:CDMD:1.2003.112991
【目录】：

第一章绪论9-17
1.1 Camassa-Holm方程的物理背景及研究状况9-12
1.2 Ginzburg-Landau方程的物理背景及研究状况12-13
1.3 本文的主要结果13-17
第二章广义Camassa-Holm方程的初边值问题17-51
2.1 半无界域上Camassa-Holm方程的初边值问题18-34
2.1.1 局部解的存在性18-25
2.1.2 整体解的存在性25-29
2.1.3 解的Blow-up29-32
2.1.4 解关于x的渐进性态32-34
2.2 有界域上Camassa-Holm方程的初边值问题34-42
2.2.1 定理2.2.1的证明35-39
2.2.2 定理2.2.2、定理2.2.3的证明39-42
2.3 广义Camassa-Holm方程整体解的存在性42-51
2.3.1 局部解的存在性42-45
2.3.2 整体解的存在性45-51
第三章带耗散项的Camassa-Holm方程的整体解及其性质51-78
3.1 引言51-52
3.2 整体解的存在性及解的整体指数稳定性52-63
3.2.1 定理3.2.2的证明53-58
3.2.2 解对初始值的连续依赖性58-61
3.2.3 定理3.2.1、定理3.2.3的证明61-63
3.3 时间周期解及殆周期解的存在性63-72
3.3.1 定理3.3.1的证明65-70
3.3.2 定理3.3.2的证明70-72
3.4 整体吸引子的存在性72-78
第四章广义Ginzburg-Landau方程的极限及非齐次边值问题78-121
4.1 引言78-79
4.2 Ginzburg-Landau方程的非齐次边值问题79-87
4.2.1 积分恒等式及先验估计79-85
4.2.2 逼近方程整体解的存在性85-86
4.2.3 定理4.2的证明86-87
4.3 一维带导数项的Ginzburg-Landau方程的粘性极限87-102
4.3.1 H~2模的一致估计89-98
4.3.2 主要定理的证明98-102
4.4 二维广义Ginzburg-Landau方程整体解的存在性及其弱极限102-121
4.4.1 整体解的存在性103-106
4.4.2 整体解的弱极限106-121

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