Landau-Lifshitz方程的有限差分格式与整体正则解

【摘要】：本文由两部分构成。在第一部分，我们研究一维Landau-Lifshitz方程非齐次边值问题和二维柱对称Landau-Lifshitz方程Neumann边值问题的有限差分格式。第二部分我们研究一维Landau-Lifshitz方程齐次Neumann边值问题和二维柱对称Landau-Lifshitz方程Neumann边值问题解的正则性。 本文共由五章构成。第一章，介绍Landau-Lifshitz方程的物理背景，研究状况及本文的工作内容。第二章，考虑一维Landau-Lifshitz方程非齐次边值问题的有限差分格式。首先我们建立一个保范(保持了连续模型的性质)的差分格式，应用有限维欧氏空间上连续映射的不动点定理(Leray-Schauder定理)证明了离散解的存在性，然后证明了格式在适当的条件下逐点收敛于问题的光滑解，并得到了误差估计。在一系列先验估计的基础上，在H~1意义下，建立了收敛性和稳定性定理。最后数值实验表明，格式具有很好的精度和稳定性。第三章，我们将建立保范差分格式这一思想推广到二维柱对称Landau-Lifshitz方程并得到了收敛性和稳定性定理。第四章，首先我们利用空间半离散方法及先验估计得到了一维Landau-Lifshitz方程齐次Neumann边值问题局部正则解的存在性，继而在整体先验估计的基础上证明了整体正则解的存在性与唯一性。第五章，我们研究二维柱对称Landau-Lifshitz方程Neumann边值问题解的正则性及渐近性。首先对方程半离散，通过利用常微分方程组局部存在性定理及建立与方程组个数无关的先验估计得到局部正则解的存在性，借助于带参数的Growall不等式，我们证明了方程存在唯一整体正则解，且当参数趋近于零时，正则解趋近于参数等于零时方程的解。