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几类非线性发展方程(组)的时空估计方法

朱佑彬  
【摘要】:本文利用时空估计方法处理几类非线性方程(组)的适定性问题。众所周知,对于线性方程,一旦基于振荡积分建立起L~p-L~q(L~p-L~(p′))估计,就能利用TT~*方法得到时空估计。在论文的开头,我们简要回顾三类经典方程(Schr(o|¨)dinger方程、波动方程及Klein-Gordon方程)的p-p′估计以及时空估计,它们是进行下一步研究必不可少的工具。 具备Yukawa相互作用的Klein-Gordon-Schr(o|¨)dinger耦合方程组是描述复核子(nucleon)场与实质子(meson)场的相互作用的经典模型,其中u表示复核子场,v表示实质子场,实数μ表示质子的质量。对方程组(0.1)适定性的研究,已有一些结果[2,23,32,63]。在[27]和[28]这两篇文章中,J.Ginibre和G.Velo分别考虑非线性Klein-Gordon方程和非线性Schr(o|¨)dinger方程在能量空间的适定性。他们通过假定非线性项满足适当的基本假设,利用Galerkin方法得到弱解的整体存在性。在非线性项满足更强的基本假设的前提下,利用时空估计以及非线性估计证明了前面得到的弱解是唯一的,这样就得到方程的适定性。受他们的启发,我们萌生了用这种方法处理非线性K-G-S方程组的念头。同时,我们也面临着这样的问题:如何把(0.1)的非线性项推广到一般情形?如何对非线性项附加基本假设才能确保方程组弱解的整体存在性?该方法唯一性的证明过程依赖于时空估计,而两类方程的时空容许对却截然不同,该如何选取合适的时空容许对呢?在[28]中对非线性项的增长指标有一个很不自然的限制条件,我们是否可以去掉这个条件呢?所有的这些问题都随着研究的深入逐一得到回答。 在论文的第一部分,我们考虑非线性K-G-S方程组


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