具有间断系数扩散方程的局部间断Galerkin方法

【摘要】： 在许多实际问题中,如材料科学和流体力学,会遇到具有间断系数的椭圆和抛物问题。如何准确有效地数值求解这些问题是一个很大的挑战。由于扩散系数在界面处间断,这类问题的解在整个定解区域上的正则性较低。真解较低的整体正则性和界面的不规则性,使得用经典的有限元方法求解很难获得高精度的数值解。 局部间断有限元(Local Discontinuous Galerkin,简记为LDG)方法是Runge-Kutta DG方法的推广,它具有局部守恒、易于处理复杂几何区域、允许解出现间断、形式上高阶精度、容易实现并行化和h-p自适应等特点,适用于求解通量比较重要的物理问题。本文研究了LDG方法在具有间断系数椭圆和抛物方程中的应用,给出了这两类方程的一些理论分析结果和数值试验。 第一章介绍了求解具有间断系数椭圆和抛物问题已有的数值方法及其进展情况,阐述了间断有限元方法的发展历史,给出了利用局部间断有限元方法研究界面问题取得的成果。 在第二章,我们详细地讨论了一维含间断系数抛物问题的局部间断有限元方法,给出了方法的L~2稳定性分析,并证明出当采用k次多项式空间逼近时,连续时间LDG格式的收敛阶为O(h~(k+1/2))。文中分别用显式和隐式时间离散求解LDG格式,数值试验验证了方法的有效性和理论分析结果。 第三章研究了二维线性椭圆界面问题的最小耗散局部间断有限元(MD-LDG)方法,间断面为任意光滑封闭曲线。尽管解的整体正则性较低,我们证明出该方法的解和通量在L~2模下的收敛阶分别为O(h~2|logh|)和O(h|logh|~(1/2))。在数值试验中,采用逐次替换迭代方法求解LDG格式,所得的数值结果与理论分析相符合。 在第四章,考虑二维线性抛物界面问题的最小耗散局部间断有限元方法,间断面仍然为任意封闭光滑曲线。我们证明出该方法是L~2稳定的,并且在能量模下数值解的收敛阶为O(h|logh|~(1/2)),最后给出了数值试验。 第五章讨论的是二维含间断系数非线性抛物问题的最小耗散局部间断有限元方法,间断面为直线。我们给出了LDG格式的L~2稳定性,并证明出能量模下数值解的收敛阶为O(h),数值算例验证了方法的有效性。