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代数障碍的相交理论、同调序列和切除定理

杨涌  
【摘要】:拓扑学中关于连续矢量丛有一套经典的障碍理论([1]).与此相对应的代数障碍理论则最早于上世纪90年代由Nori提出([2],[3]).对于无限域k上的光滑代数簇X =Spec(A), dim(A) = d≥2, Nori构造了代数障碍类群E(A).进一步的,对于秩为d的投射A?模P和定向χ: A≌∧~dP, Nori定义了障碍类e(P,χ)∈E(A).随后,这些定义被S.M.Bhatwadekar和R.Sridharan推广([4]).给定Noetherian交换环A, dimA = d≥2,和秩为一的投射A?模L,他们定义了障碍类群E(A,L).若进一步还有Q (?) A,对任意秩为d的投射A?模P和定向χ: L≌∧~dP,他们定义了障碍类e(P,χ)∈E(A,L)并证明P≌Q⊕A当且仅当e(P,χ) = 0. 本论文包含了我们关于代数障碍理论的一些研究工作,主要涉及“代数障碍的相交理论”和“Euler类群的同调结构”两个方面。 第二章中,我们的工作旨在对于代数障碍建立对应于拓扑学和代数几何学中示性类理论的理论基础。这一工作受到与弱Euler类群紧密相关的代数几何学中代数矢量丛的Chern类理论的启发,后者在代数几何学中是由相交理论给出的([5]).给定维数为d的Noetherian交换环A和秩为一的投射A?模L,我们定义了一般化的Euler类群Er(A,L), r≥1.代数几何学中,代数矢量丛的最高阶Chern类按定义是一个n次群同态。与此相对应,对任意投射A?模Q, rankQ = n和定向χ: L≌∧~rQ,我们构造了Whitney类映射其中L′为任意秩为一的投射A?模。特别地,这一群同态与Q的最高阶Chern类同态是相谐的。对于r≥2,s≥1,,我们还构造了双线性的映射(相交)∩: Er(A,L)×Es(A,A)→Er+s(A,L). 第三章中,我们建立了Euler类群的同调结构。实际上,这一章的主要内容在于证明Euler类群满足一般同调理论的特征性结论。给定维数为d的Noetherian交换环R, l是R的理想满足dim Rl = d?m.对于满足2n≥d+3的任意正整数n,我们定义了群同态称为Euler类群的限制。进一步地,与相对K_0群K_0(R,l)相对应(文[6]中记作K_0(l)),我们定义了相对Euler类群En(R,l;R)和相对弱Euler类群E0n(R,l).特别地,当l = R时,相对Euler类群En(R,l;R)和相对弱Euler类群E0n(R,l)分别就是一般化的Euler类群En(R;R)和弱Euler类群E0n(R).由此我们证明了存在正合列称为Euler类群的正合序列。进一步,弱环同态ρ: R→Rl存在满足一定维数条件的分裂β,则以上序列退化为如下的分裂短正合列称为Euler类群的切除序列。特别地,在此条件下,我们有群同态En(R;R)≌En(R,l;R)⊕En(Rl ; Rl ).这一章中我们还研究了多项式扩张和Laurent多项式扩张的Euler类群。


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