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非结构网格上解Hamilton-Jacobi方程的数值方法研究

朱思美  
【摘要】:Hamilton-Jacobi方程在最优控制、微分几何、计算机图形图像、几何光学、网格生成等许多领域有着广泛的应用,众所周知,Hamilton-Jacobi方程的解是很难求得,而且即使在初值很光滑的情况下其解的导数也会出现间断。本文主要讨论了非结构网格上解Hamilton-Jacobi方程的无振荡有限体积方法和局部自适应加密方法。 本文共分五章,第一章简要的介绍了Hamilton-Jacobi方程的应用发展和基本理论,以及数值方法研究的发展过程。 第二章介绍了结构网格上和非结构网格上解Hamilton-Jacobi方程的数值方法,详细的介绍了具有代表性的ENO格式和WENO格式。 第三章构造出了非结构网格上解Hamilton-Jacobi方程的一类有限体积方法。借助最小平方的思想,得到了单元上的一个二次插值多项式,并利用极值原理的思想,在保证其解的导数不出现新的极值的情况下,构造出了非结构网格上解Hamilton-Jacobi方程的无振荡数值格式。该数值方法的计算量要比ENO方法小得多,而且仍具有高分辨率。 第四章研究了在非结构网格上解Hamilton-Jacobi方程的自适应局部加密方法。利用ENO的思想,构造非结构网格上的无振荡数值格式,通过单元上的光滑度指标确定需加密单元,并采用无振荡插值,实现了跟踪间断的自适应局部加密方法。这种加密方法只需增加少量的节点和三角形单元,利用少量的计算量,提高了精度,改善了对间断的分辨能力。数值试验检验了此加密方法的这些优点。 最后一章总结了前两章讨论的数值方法的优缺点,提出了今后的工作发展。


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