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Clean环及其推广

李炳君  
【摘要】: 本文以clean环为主线,研究了比clean环条件稍弱的potent环和f-clean环,以及比clean环条件稍强的强clean环.此外,我们还研究了与结合环有密切联系的结合对的相关问题. 我们知道,幂等元和可逆元是环中很重要的元素,它们对环的结构起着十分重要的作用.如果环R中任意元素可以写成一个幂等元和可逆元(或者可逆元和幂等元)的乘积当且仅当R是单位正则环.如果环里面的每一个元素可以写成一个幂等元和一个可逆元的和,我们就称它为clean环. 在绪论中,我们简单的阐述了clean环, potent环及相关环的研究历程和现状,对结合对的定义作了简要的介绍. 在第二章中,我们主要研究potent环的性质,较深入的探讨了它与相关环之间的关系.证明了如果potent环中仅包含平凡的幂等元,那么potent环和局部环这两个概念是完全等价的(定理2.3.6). 局部环上的n阶全矩阵环的强clean性近年来一直在被深入的研究,但以往的工作都是局限在交换的局部环上.本文的第三章主要研究未必交换的局部环上的二阶全矩阵环的强clean性问题,利用Nicholson关于强clean态射的分解理论,从二次方程根的角度得到了未必交换的局部环上的二阶全矩阵环何时是强clean环的一个判定准则(定理3.2.7).作为应用,我们给出了M2(R)是强clean环的更多等价条件(定理3.3.2). 在第四章中,我们定义了两个新的环类:f-clean环和带有很多满元素的环.我们得到了f-clean环的很多重要的性质,对带有很多满元素的环中的元素进行了刻画.证明了带有很多满元素的环上的全矩阵环和Morita Context环仍然是带有很多满元素的环(定理4.3.18和定理4.3.21). 在第五章中,我们首先介绍了结合对的相关概念,研究了结合对的Jacobson根中的元素的特征.本章着重研究了结合对中的幂等元可以通过其Jacobson根提升这一重要性质.证明了结合对满足幂等元可以通过其Jacobson根提升当且仅当幂等元可以通过所有包含在其Jacobson根内的左理想提升(定理5.2.6).此外,建立了结合对和它的标准嵌入UA在幂等元可以通过其Jacobson根提升性质上的联系(定理5.2.11). 最后,我们对全文的工作进行了回顾和总结,对一些尚未解决的问题进行了初步的分析,并对今后的研究工作作了展望.


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