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密码学中逻辑函数有关非线性准则的研究

滕吉红  
【摘要】: 本文首先综合运用概率论、代数学、数论等基础学科的理论知识,并以频谱理论作为主要研究工具,对一类谱值分布相对均匀的函数——广半Bent函数、k阶拟Bent函数和p值k阶拟广义Bent函数进行了系统、深入的研究,给出了广半Bent函数定义,并探讨了广半Bent函数的密码学性质;给出了k阶拟Bent函数和p值k阶拟广义Bent函数的定义及等价判别条件;讨论了k阶拟Bent函数和p值k阶拟广义Bent函数与部分Bent函数和p值广义部分Bent函数的关系,探讨了它们的密码学性质;给出了k阶拟Bent函数和p值k阶拟广义Bent函数的典型构造方法,并将对k阶拟Bent函数的密码性质的研究转化到对一类特殊的矩阵的研究上;利用布尔函数的特征矩阵原则上给出了k阶拟Bent函数的一种完全构造方法,还给出了从已有的p值k阶拟广义Bent函数出发,递归构造变元个数更多的p值k阶拟广义Bent函数的方法;初步探讨了k阶拟Bent函数在序列密码、分组密码以及通信中的应用;给出了一类布尔函数Walsh谱的分解式,并利用这类布尔函数的Walsh谱分解式给出了一类近似稳定的布尔函数的构造,特殊情形下为k阶拟Bent函数;利用代数数论的知识考察了p值k阶拟广义Bent函数的谱特征,并给出了k阶拟广义Bent函数与所有仿射函数的符合率特征等等。 随后,本文利用有限域上迹函数、p-多项式的特殊性质以及有限域上的置换理论,对有限域上逻辑函数的密码学性质进行了较为深入细致的研究。重新定义了有限域上逻辑函数的Chrestenson线性谱,考察了新定义的Chrestenson线性谱和原来的Chrestenson循环谱的关系,并利用一组对偶基给出了有限域上逻辑函数的反演公式;给出了有限域上随机变量联合分布的分解式,并利用随机变量联合分布的分解式对有限域上逻辑函数的密码性质进行了研究;给出了有限域上逻辑函数与相应素域上向量逻辑函数的关系,探讨了它们之间密码性质的联系,如平衡性,相关免疫性,扩散性,线性结构以及非线性度等;讨论了有限域上逻辑函数各类线性结构之间的关系,并给出了任意点都是线性结构的逻辑函数的全部构造,由此引出了有限域上的“泛仿射函数”的概念;考察了有限域上逻辑函数的退化性与线性结构的关系、退化性与Chrestenson谱支集的关系;给出了有限域逻辑函数非线性度的定义,利用有限域上逻辑函数的非线性度与相应素域上向量逻辑函数非线性度的关系,考察了有限域上逻辑函数的非线性度与线性结构的关系;利用有限域上逻辑函数与相 信息工程大学博士学位论文 应素域上向量逻辑函数的关系,揭示了有限域上的广义Bent函数与相应素域上的广义Bent 函数的关系,以及有限域上的完全非线性函数与相应素域上向量广义Bent函数之间的关 系;给出了任意有限域上任意。元完全非线性函数存在性与否的宾整证明,并利用有限域 上平衡的p一多项式的性质给出了有限域上完全非线性函数的一些基本构造方法.


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