几类联图的全着色研究

【摘要】：图G的全着色是同时对G的点和边进行着色,G的正常全着色是使得V(G)∪E(G)中相邻或相关联的元素均染不同颜色的全着色.G正常全着色所用颜色的最少数目称为它的全色数,记为X_T(G).若对G进行正常全着色,G中的一个大点所关联的△(G)条边需要△(G)种颜色,再加上这个大点本身所需要的颜色,故G的正常全着色至少需要△(G)+1种颜色,所以X_T(G)≥△(G)+1. 1965年,Behzad在其博士论文中提出了猜想:“若G是简单图,则X_T(G)≤△(G)+2”.人们称这一猜想为全着色猜想.到目前为止,仅对一些特殊的图类证明了全着色猜想是成立的. 在证明全着色猜想成立的同时,人们还在尝试给出图的全色数的准确值.给定图G,若X_T(G)=△(G)+1,则称G是1-型的,记作G∈C_T~1;若X_T(G)=△(G)+2,则称G是2-型的,记作G∈C_T~2.本文证明了几类联图满足全着色猜想并确定了它们全色数的准确值. 本文的第一部分介绍了一些基本的概念和关于全着色的结论.在第二部分中,证明了若G是空图O_m和圈C_n的联图,则G满足全着色猜想.并且由此推出了空图和路的联图也满足全着色猜想.根据G的全色数,我们完整地给出了G的分类.在第三部分中,我们证明了非等部完全偶图和路的联图的全色数为△+1.第四部分证明的结果是:(1)非等部完全偶图K_(n1,n2)(n_1n_2)和圈C_m的联图在m≠n1+2时,全色数为△+1;(2)若一个具有分划(X,Y)的完全偶图满足|X|或|Y|等于一个圈所含点的个数时,这个完全偶图和这个圈的联图的全色数也是△十1.