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符号系统及非一致双曲系统中具有偏差性质的周期测度的研究

钱盛  
【摘要】:本文研究符号系统和非一致双曲系统中的具有偏差性质的周期测度。具体地说,考虑在符号系统和非一致双曲系统中,在给定连续函数的观测下,和事先指定的某测度有±偏差的周期测度的分布。对于这种具有偏差性质的周期测度,本文关注其数量关于周期的指数增长率,并希望用系统的某些量,比如熵等等,给出这种指数增长率的上下界的控制。在第二章中,本文利用推广的测度熵结合凸分析的办法证明了,那些和给定测度的“距离”不小于±的周期测度的指数增长率的上界,可以被测度熵在某个闭集上的上界来控制;而给定测度的“距离”严格大于±的周期测度的指数增长率的下界,可以被测度熵在某个开集上的上界来控制。在第三章,本文考虑由一个双曲遍历测度给出的非一致双曲系统,以及它的Pesin集上具有偏差性质的周期测度。并证明具有偏差性质的周期测度的指数增长率的上界可以被测度熵在某个闭集上的上界来控制。这个结果推广了Gelfet和Wolf关于非一致扩张系统的结论,并把推广的测度熵在某个测度闭集上的上界改为测度熵的上界。之后,本文利用这一结果结合廖山涛先生引入的标架丛的技术,把一般连续函数观测到的偏差现象,替换为用指数和Oseledec子丛的平均夹角去观测,并给出在这两方面具有偏差的周期测度的上界的控制。观察视角的转换并非前述一般结论的特例,关键在于指数与平均夹角无法用流形上的连续函数来表示。这个结论的创新点就在于利用标架丛技术把流形上的可测函数提升成为丛空间上的连续函数。


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